Курсова робота на тему: «МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ»

Зміст

Вступ    3

  1. Відокремлення коренів    4
  2. Наближене рішення нелінійних рівнянь    7
  3. Наближене рішення систем нелінійних рівнянь    22

Висновки    37

Література    39

  1. Вступ

Мета: розглянути методи обчислення нелінійних рівнянь та їх систем

Математичними моделями багатьох об’єктів і процесів навколишнього світу є нелінійні рівняння і системи нелінійних рівнянь: алгебраїчні і трансцендентні — для сталих станів, диференціальні — для динамічних процесів. У цій роботі розглядаються методи розв’язання нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь та їх нерівностей.

Розв’язання нелінійних рівнянь виду


виконується переважно чисельними методами, основними властивостями яких є ітераційність рішення і локальність апроксимації.

На відміну від лінійних рівнянь не існує прямих методів розв’язання нелінійних рівнянь. Загалом процедура розв’язання нелінійних рівнянь складається з двох етапів: попереднє знаходження інтервалів, що містять лише один корінь (локалізація коренів) і подальше уточнення коренів (розв’язання рівняння).

Процедура розв’язання починається з вибору початкової точки
і обчислення нев’язки рівняння . Якщо , за певним алгоритмом формується послідовність уточнень
з використанням інформації про знак нев’язки, про значення самої нев’язки або про швидкість її зміни .

Вибір початкового значення
є важливим етапом, який істотно впливає на ефективність усієї процедури розв’язання і навіть на можливість одержання розв’язку.

Відокремлення коренів

Коріньрівняння вважається відокремленим на відрізку , якщо і на цьому відрізку рівняння не має інших коренів. Щоб відокремити корені рівняння , треба розбити область визначення даного рівняння на проміжки, на кожному з яких міститься один і тільки один корінь або немає жодного кореня. Відокремлюють корені графічним і аналітичним методами, а також методом послідовного перебору.

Для відокремлення коренів графічним методом будують графік функції і знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис та кінці відрізків ізоляції коренів. Часто рівняння записують у вигляді і будують графіки функцій і , потім знаходять межі, в яких містяться абсциси точок перетину графіків функцій і

Теорема 1 (теорема існування кореня). Якщо функція неперервна на
і набуває на кінцях цього відрізка значень протилежних знаків, тобто , то всередині відрізка
існує хоча б один корінь рівняння .

Зазначимо, що теорема не дає відповіді на питання про кількість коренів рівняння , які належать . При виконанні умов теореми


Мал.. 1

рівняння може мати й кілька коренів. На рис. 1 зображено графік функції , яка задовольняє усі вимоги теореми 1 і має на
чотири нулі. У досить малому околі точки теорему існування кореня застосувати не можна, бо при переході зліва направо через точку
знак функції
не змінюється. Точка — кратний корінь рівняння і його не можна відокремити, користуючись теоремою 1. Тому далі вважатимемо, що для всіх .

Теорема 2 (теорема існування і єдиності кореня). Якщо функція , неперервна і диференційовна на , набуває на кінцях цього відрізка значень різних знаків, а похідна зберігає сталий знак всередині відрізка , то рівняння на цьому відрізку має корінь, причому єдиний.

У відповідності з теоремами 1 і 2 алгоритм відокремлення коренів рівняння можна сформулювати так:

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

METODY OBCH NELIN RIVN (1.6 MiB, Завантажень: 7)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
завантаження...
WordPress: 23.58MB | MySQL:26 | 0,338sec