Курсова робота на тему: «МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО»

Зміст

Вступ    3

Розділ 1. Деякі відомості теорії ймовірностей    5

§1. Математичне очікування, дисперсія    5

§2. Точність оцінки, довірча ймовірність. Довірчий інтервал    5

§3. Нормальний розподіл    6

Розділ 2. Метод Монте-Карло    7

§1. Загальна схема методу Монте-Карло    7

§2. Оцінка похибки методу Монте-Карло    7

Розділ 3. Обчислення інтегралів методом Монте-Карло    10

§1. Алгоритми методу Монте-Карло для розв’язку інтегральних рівнянь другого роду    10

§3. Спосіб істотної вибірки, що використовує «допоміжну щільність розподілу»    14

§4. Спосіб, заснований на тлумаченні інтеграла як площі    16

§5. Спосіб «виділення головної частини»    17

§6. Програма обчислення інтеграла методом Монте-Карло    19

§7. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло    20

Розділ 4. Обчисленя методами чисельного інтегрування площі складних фігур    23

§1. Теоретичні основи чисельного інтегрування. Метод Монте-Карло    23

§2. Написання програми, що реалізує алгоритм методу Монте-Карло    24

3. Блок-схема й програма реалізації методу Монте-Карло    26

§3. Проведення обчислювального експерименту і заповнення таблиці випробувань    28

Розділ 5. Обчислення числа Пі методом Монте-Карло    29

§1. Теоретичні основи обчислення числа Пі методом Монте-Карло    29

§2. Постановка завдання для знаходження числа Пі методом Монте-Карло    30

§3. Програма для знаходження числа Пі методом Монте-Карло на мові Сі    31

Висновки    33

Література    34

Додатки    35

 

Вступ

Методи Монте-Карло – це загальна назва групи методів для розв’язку різних завдань за допомогою випадкових послідовностей. Ці методи ( як і вся теорія ймовірностей) виросли зі спроб людей поліпшити свої шанси в азартних іграх. Цим пояснюється й той факт, що назва цій групі методів дало місто Монте-Карло – столиця європейського ігорного бізнесу (казино), де грають у рулетку – одне з найпростіших обладнань для одержання випадкових чисел, на використанні яких заснований цей метод.

Метою даної роботи є реалізація та перевірка ефективності методу Монте-Карло при його застосуванні на різних прикладах, отримання експерементальних данних, що допоможуть у визначенні переваг та недоліків.

Актуальність полгягаєу в тому, що з 70-х років в новій галузі математики – теорії обчислювальної складності було показано, що існує клас задач, складність (кількість обчислень, необхідних для отримання точної відповіді) яких зростає з розмірністю задачі експоненціально. Іноді можна, пожертвувавши точністю, знайти алгоритм, складність якого зростає повільніше, але є велика кількість задач, для якого цього не можна зробити (наприклад, завдання визначення обсягу опуклого тіла в n-мірному евклідовому просторі) та метод Монте-Карло є єдиною можливістю для отримання досить точної відповіді за прийнятний час. В даний час основні зусилля дослідників спрямовані на створення ефективних Монте-Карло алгоритмів різних фізичних, хімічних та соціальних процесів для паралельних обчислювальних систем. Обгрунтована актуальність використання методу Монте-Карло достатньо просто реалізується засобами обчислювальної техніки. ЕОМ дозволяють легко одержувати так звані псевдовипадкові числа ( при розв’язку завдань їх застосовують замість випадкових чисел); це привело до широкого впровадження методу в багато областей науки й техніки (статистична фізика, теорія масового обслуговування, теорія ігор і ін.).

Об’єктом дослідження є самий метод Монте-Карло і його застосування.

Методами дослідження є методи теорії ймовірності для дослідження випадкових величин та методи теорії програмування для побудови програмних засобів.

Метод Монте-Карло можна визначити як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їх розподілів.

Виникнення ідеї використання випадкових явищ в області наближених обчислень прийнято відносити до 1878 року, коли з’явилася робота Холу про визначення числа π за допомогою випадкових кидань голки на розграфлений паралельними лініями папір. Справа полягає в тому, щоб експериментально відтворити подію, імовірність якої виражається через число π, і приблизно оцінити цю ймовірність. Вітчизняні роботи з методу Монте-Карло з’явилися в 1955-1956 роках. Відтоді нагромадилася велика бібліографія по методу Монте-Карло. Навіть швидкий перегляд назв робіт дозволяє зробити висновок про застосовність методу Монте-Карло для розв’язку прикладних завдань із великої кількості областей науки й техніки.

Спочатку метод Монте-Карло використовувався головним чином для розв’язку завдань нейтронної фізики, де традиційні чисельні методи виявилися мало придатними. Далі його вплив поширився на широкий клас завдань статистичної фізики, дуже різних по своєму змісту.

Метод Монте-Карло виявив і продовжує впливати на розвиток методів обчислювальної математики (наприклад, розвиток методів чисельного інтегрування) і при розв’язку багатьох завдань успішно сполучається з іншими обчислювальними методами й доповнює їх. Його застосування виправдане в першу чергу в тих завданнях, які допускають теоретико-імовірнісний опис. Це пояснюється як природністю одержання відповіді з деякою заданою ймовірністю в завданнях з імовірнісним змістом, так і істотним спрощенням процедури розв’язку.

Розділ 1. Деякі відомості теорії ймовірностей

§1. Математичне очікування, дисперсія

Дискретної називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму добутків усіх її можливих значень на їхню ймовірність.


,

де Х – випадкова величина, – значення, імовірності яких відповідно рівні .

Математичне очікування наближено рівно (тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.

Дисперсією (розсіюванням) випадкової величини називають математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування: .

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають квадратний корінь із дисперсії: .

§2. Точність оцінки, довірча ймовірність. Довірчий інтервал

Точковою називають оцінку, яка визначається одним числом.

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють установити точність і надійність оцінок.

Нехай, знайдена за даними вибірки, статистична характеристика служить оцінкою невідомого параметра . Ясно, що тим точніше визначає параметр, чим менше абсолютна величина різниці . Інакше кажучи, якщо d>0 і, то, чим менше d, тим оцінка точніше. Позитивне число d характеризує точність оцінки.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки по називають імовірність g, з якою здійснюється нерівність .

Довірчим називають інтервал, який покриває невідомий параметр із заданою надійністю g.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

METOD MONTE-KARLO (784.3 KiB, Завантажень: 5)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
завантаження...
WordPress: 23.42MB | MySQL:26 | 0,336sec