Курсова робота на тему: «ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ»

Зміст

Вступ    2

1.    Допоміжні означення і теореми    3

2.    Означення і приклади лінійних операторів    5

3.    Неперервність і обмеженість    10

4.    Сума і добуток операторів    13

5.    Обернений оператор, оборотність.    15

6.    Спряжені оператори    22

7.    Спряжений оператор в евклідовому просторі. Самоспряжені оператори    25

8.    Спектр оператора. Резольвента    28

Висновки    31

Список використаної літератури    32

 

 

Вступ

У даній курсовій роботі розглядається тема «Лінійні оператори». Зокрема розглядаються такі питання, як: означення і приклади лінійних операторів, неперервність і обмеженість, сума і добуток операторів, обернений, спряжений і самоспряжений оператори,а також спектор оператора, резольвента.

У кожному пункті наведені означення, теореми і лема, а також доведення кожної теореми і леми. Перший пункт складається з означень і прикладів лінійних операторів. Розповідається про один з важливих для аналізу прикладів лінійних операторів — це оператор диференціювання.

Важливе місце у лінійних операторах посідає теорема Банаха про обернений оператор,яка розглядається у четвертому пункті. До цієї теореми наведено доведення, яке ґрунтується на лемі про розклад елемента в ряд виду

У п’ятому пункті розглядаються спряжені оператори, наведено приклад про спряжені оператори у скінченновимірному просторі. А також наведені деякі властивості спряжених операторів.

Отже, лінійні оператори займають велике місце у курсі функціонального аналізу. Вони розглядають у нормованих, евклідових, гільбертових просторах. Розглянуті означення, які відповідають лінійним операторам є автоматичним узагальненням операторів у аналізі.

  1. Допоміжні означення і теореми

Означення 1. Лінійний простір , в якому задано деяку норму, називається нормованим простором.

Означення 2. Повний нормований простір називається банаховим
простором (-простором).

Означення 3. Лінійний простір з фіксованим у ньому скалярним добутком називається евклідовим простором.

Означення 4. Повний евклідовий простір нескінченного числа вимірності називається гільбертовим простором.

Означення 5. Сукупність елементів, що містить разом з x і y їх довільну лінійну комбінацію , називають лінійною многовидністю.

Означення 6. Числову функцію , визначену на деякому лінійному просторі , називають функціоналом.

Означення 7. Адитивний однорідний функціонал називається лінійним
функціоналом. А функціонал називається адитивним, якщо

    для всіх
;

і називається однорідним, якщо

        ( — довільне число)

Теорема про вкладені кулі. Щоб метричний простір був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому послідовність вкладених одна в одну замкнутих куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній перетин.

Теорема Бера. Повний метричний простір не можна подати у вигляді об’єднання зліченного числа ніде не щільних множин.

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай , де кожна з множин ніде не щільна. Нехай — деяка замкнута куля радіуса 1. Оскільки множина , будучи ніде не щільною, нещільна в , то існує замкнута куля радіуса менше , така, що і . Оскільки множина не щільна в , то з тієї самої причини в кулі є замкнута куля радіуса менше від , для якого і т. д. Ми дістаємо послідовність вкладених одна в одну замкнутих куль , радіуси яких прямують до нуля, причому, . На підставі теореми про вкладені кулі маємо, що перетин містить деяку точку . Ця точка за побудовою не належить жодній з множин , отже, , тобто , що суперечить припущенню. Отже, повний метричний простір не можна подати у вигляді об’єднання зліченного числа ніде не щільних множин.

Теорема Гана — Банаха. Нехай — комплексний нормований простір, — лінійний обмежений функціонал, визначений на підпросторі . Тоді існує лінійний обмежений функціонал , який визначений на всьому і задовольняє умови

, ,

.

 

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Lin Operatory (639.4 KiB, Завантажень: 7)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Lin Operatory (90.8 KiB, Завантажень: 7)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
завантаження...
WordPress: 23.52MB | MySQL:26 | 0,784sec