Курсова робота на тему: «КОМПАКТНІСТЬ У МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРАХ, УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА АРЦЕЛА»

Зміст

Вступ.    3

Допоміжні означення    4

1. Повна обмеженість.    5

2. Компактність і повна обмеженість.    8

3. Передкомпактні множини в метричних просторах.    10

4. Теорема Арцела.    12

5. Теорема Пеано.    15

6. Рівномірна неперервність. Неперервні відображення метричних компактів.    18

7. Узагальнена теорема Арцела.    19

Висновки    21

Список використаної літератури    22

 

Вступ.

У даній курсовій роботі розглядається тема «Компактність у метричних просторах, узагальнена теорема Арцела». Вона складається із таких питань: повна обмеженість, компактність і повна обмеженість, передкомпактні множини в метричних просторах, теореми Арцела, теореми Пеано, рівномірної неперервності і узагальненої теореми Арцела. Кожне з цих питань включає в себе означення і теореми з доведенням.

В першому питанні вводиться поняття повної обмеженості, цілкомобмеженої множини та наводимо приклади.

Питання про компактність тієї чи іншої множини в метричному просторі — досить поширені в аналізі задач. Спроба безпосередньо застосувати теорему 2, з другого питання, викликає певні труднощі. Тому для множини у конкретних просторах корисно дати спеціальні критерії компактності (або передкомпактності), зручніші на практиці, що розглядаються в третьому пункті.

Одним з найважливіших в аналізі метричних просторів є простір . Для його підмножин важливим критерієм передкомпактності є так звана теорема Арцела, застосування якої, показано на прикладі теореми Пеано.

Для відображення метричного простору в метричний простір, поряд з поняттям неперервності важливе значення для аналізу має поняття рівномірної неперервності, що дається в шостому пункті.

У сьомому пункті розглянула узагальнену теорему Арцела про необхідну і достатню умову включення перед компактності множини .

 

Допоміжні означення

Означення 1. Метричним простором називається пара , що складається з деякої множини (простору) елементів (точок) і відстані, тобто однозначної, невід’ємної, дійсної функції , визначеної для будь-яких і з , і яка задовольняє таким трьом аксіомам:

  1. тоді і тільки тоді, коли ;
  2. аксіоми симетрії): ;
  3. аксіоми трикутника): .

Означення 2. Якщо в просторі будь-яка фундаментальна послідовність збігається, то цей простір називається повним.

Означення 3. Нехай — деяка множина — простір-носій. Топологією в називається будь-яка система її підмножин , яка задовольняє дві вимоги:

  1. Сама множена і порожня множина Ø належить .
  2. Сума будь-якого (скінченого або нескінченого) і перетин будь-якого скінченого числа множин з належить .

Множина із заданою в ній топологією , тобто пара , називається топологічним простором.

Топологічний простір із зліченою щільною множиною, як і метричний, називається сепаративним.

Означення 4. Топологічний простір називається компактом, якщо будь-яке його відкрите покриття має скінченне підпокриття.

Означення 5. Простір називається злічено-компактним, якщо кожна його скінчена підмножина має хоча б одну граничну точку.

Теорема 1. Для просторів із зліченною базою поняття компактності і зліченої компактності збігається.

Теорема 2. Метричний простір має зліченну базу тоді і тільки тоді, коли він сепаративний.

 

1. Повна обмеженість.

Оскільки метричні простори ϵ окремим випадком топологічних, то на них поширюються ті означення і факти. У метричному випадку компактність тісно пов’язана з поняттям повноï обмеженості, яку ми зараз введемо.

Нехай М — деяка множина в метричному просторі і — деяке додатнϵ число. Множина з називаються сіткою для М, якщо для будь-якоï точки знайдеться хоча б одна точка , така, що

.

(Множина не обов’язково повинна міститися в М, вона може навіть не мати з М жодноï спільноï точки, однак, маючи для М деяку -сітку , можна побудувати –сітку ).

Наприклад, цілочисельні точки утворюют на площині -сітку.

Множина називається цілкомобмеженою, якщо для неï при будь-якому існує скінченна сітка. Зрозуміло,що цілком обмежена множина обов’язково обмежена,як сума скінченого числа обмежених множин. Обернене твердження, взагалі кажучи, неправильне, як показує наведений нижче приклад 2.

Часто буває корисне таке зауваження:

Зауваження:
Якщо множина цілком обмежена, то ïï замикання [] цілком обмежене.

З означення повноï обмеженості випливає, що коли метричний простір цілком обмежений, то він сепарабельний. Справді, побудуємо для кожного в скінчену -сітку. Ïх сума за всіма є зліченною скрізь щільною в множиною. Оскільки сепарабельний метричний простір має зліченну базу за теоремою 2 (ст.2.), що метричний простір має зліченну базу тоді і тільки тоді, коли він сепаративний, то дістаємо, що всякий цілком обмежений метричний простір має зліченну базу.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Kompaktnist V Metr Prostorah (74.5 KiB, Завантажень: 7)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Kompaktnist V Metr Prostorah (686.8 KiB, Завантажень: 5)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6
завантаження...
WordPress: 23.2MB | MySQL:26 | 0,422sec