Курсова робота на тему: «ФРАКТАЛЬНА ГРАФІКА»

 

ЗМІСТ

1.ВСТУП    – 2 –

2. Фрактальна графіка.    – 4 –

3. КЛАСИЧНІ ФРАКТАЛИ    – 7 –

3.1. Самоподоба.    – 7 –

3.2. Сніжинка Коха.    – 8 –

3.3. Килим Серпінського.    – 9 –

4. L-системи.    – 11 –

5.Програми    – 16 –

А) Програма Art Dabbler    – 16 –

Б) Програма Ultra Fractal    – 18 –

В) Програма Fractal Explorer    – 19 –

Г) Програма ChaosPro    – 20 –

Д) Програма Apophysis    – 21 –

Е) Програма Mystica    – 22 –

5. ВИСНОВОК.    – 22 –

6. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ    – 24 –

 

1.ВСТУП

Коли більшості людей здавалося, що геометрія в природі обмежується такими простими фігурами, як лінія, круг, перетин, багатокутник, сфера, квадратична поверхня, а також їх комбінаціями. Наприклад, що може бути красивіше за твердження про те, що планети в нашій сонячній системі рухаються довкола сонця по еліптичних орбітах?

Проте багато природних систем настільки складні і нерегулярні, що використання лише знайомих об’єктів класичної геометрії для їх моделювання представляється безнадійним. Як наприклад, побудувати модель гірського хребта або крони дерева в термінах геометрії? Як описати те різноманіття біологічних конфігурацій, яке ми спостерігаємо в світі рослин і тварин? Уявіть собі всю складність системи кровообігу, що складається з безлічі капілярів і судин і доставляє кров до кожної клітинки людського тіла. Уявіть, як хитромудро влаштовані легені і нирки, що нагадують по структурі дерева з гіллястою кроною.

Настільки ж складною і нерегулярною може бути і динаміка реальних природних систем. Як підступитися до моделювання каскадних водопадів або турбулентних процесів, що визначають погоду?

Фрактали і математичний хаос
— відповідні засоби для дослідження поставлених питань. Термін фрактал відноситься до деякої статичної геометричної конфігурації, такий як миттєвий знімок водопаду. Хаос — термін динаміки, використовуваний для опису явищ, подібних до турбулентної поведінки погоди. Незрідка те, що ми спостерігаємо в природі, інтригує нас безконечним повторенням одного і того ж узору, збільшеного або зменшеного в скільки завгодно раз. Наприклад, в дерева є гілки. На цих гілках є вітки поменше і так далі Теоретично, елемент «розгалуження» повторюється нескінченно багато раз, стаючи все менше і менше. Те ж саме можна відмітити, роздивляючись фотографію гірського рельєфу. Спробуйте трохи наблизити зображення гірської гряди — ви знову побачите гори. Так виявляється характерна для фракталів властивість самоподоба.

У багатьох роботах по фракталах самоподоба використовується як визначальна властивість. Слідуючи Бенуа Мадельброту, ми приймаємо точку зору, згідно якої фрактали повинні визначатися в термінах фрактальної (дробом) розмірності. Звідси і походження слова фрактал (від латів. fractus — дріб).

Поняття дробової розмірності є складною концепцією, яка викладається у декілька етапів. Пряма — це одновимірний об’єкт, а площина — двовимірний. Якщо гарненько перекрутивши пряму і площину, можна підвищити розмірність отриманої конфігурації; при цьому нова розмірність зазвичай буде дробом в деякому розумінні, який нам належить уточнити. Зв’язок дробової розмірності і самоподоба полягає в тому, що за допомогою самоподоби можна сконструювати безліч дробової розмірності найбільш простим чином. Навіть у випадку набагато складніших фракталів, таких як кордон безлічі Мандельброта, коли чисте самоподоба відсутня, є майже повне повторення базової форми у все більш і більш зменшеному вигляді.

Багато чудових властивостей фракталів і хаосу відкриваються при вивченні інтегрування відображень. При цьому починають з деякої функції в f(x) і розглядають поведінку послідовності f(x), f(f(x)), f(f(f(x)))… У комплексній площині роботи такого роду сходять, видно, до імені Келі, яка досліджувала метод Ньютона знаходження кореня в додатку до комплексних, а не лише до речових, функціям (1879). Чудового прогресу у вивченні інтегрованих комплексних відображень добилися Гастон Жюліа і Пьер Фату (1919). Природно, все було зроблено без допомоги комп’ютерної графіки. В наші дні, багато хто вже бачив барвисті постери із зображенням безлічі Жюліа і безліч Мандельброта, тісно з ними зв’язаного. Освоєння математичної теорії хаосу природно почати саме з інтегрованих відображень.

Вивчення фракталів і хаосу відкриває чудові можливості, як в дослідженні безконечного числа додатків, так і в області чистої математики. Але в той же час, як це часто трапляється в так званій новій математиці, відкриття спираються на піонерські роботи великих математиків минулого. Сер Ісаак Ньютон розумів це, кажучи: «Якщо я і бачив далі за інших, то лише тому, що стояв на плечах гігантів».

2. Фрактальна графіка.

Останньої з даних видів комп’ютерної графіки — це фрактальна графіка. Фрактальна графіка є на сьогоднішній день одним з самих перспективних видів комп’ютерної графіки, що швидко розвиваються.

Математичною основою фрактальної графіки є фрактальна геометрія. Тут в основу методу побудови зображень покладений принцип спадкоємства від, так званих, «батьків» геометричних властивостей об’єктів-спадкоємців.

Поняття фрактал, фрактальна геометрія і фрактальна графіка, що з’явилися в кінці 70-х, сьогодні міцно увійшли до ужитку математиків і комп’ютерних художників. Слово фрактал утворено від латинського fractus і в перекладі означає той, що «складається з фрагментів». Воно було запропоноване математиком Бенуа МандельБротом в 1975 році для позначення нерегулярних, але само подобних структур, якими він займався.

Фракталом називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні до цілого. Однією з основних властивостей фракталів є само подоба. Об’єкт називають само подобним, коли збільшені частини об’єкту схожі на сам об’єкт і один на одного. Перефразовуючи це визначення, можна сказати, що в простому випадку невелика частина фрактала містить інформацію про весь фрактал.

В центрі фрактальної фігури знаходиться її простий елемент — рівносторонній трикутник, який отримав назву «фрактальний». Потім, на середньому відрізку сторін будуються рівносторонні трикутники із стороною, рівною (1/3a) від сторони вихідного фрактального трикутника. У свою чергу, на середніх відрізках сторін отриманих трикутників, що є об’єктами-спадкоємцями першого покоління, вишиковуються трикутники-спадкоємці другого покоління із стороною (1/9а) від сторони вихідного трикутника.

Таким чином, дрібні елементи фрактального об’єкту повторюють властивості всього об’єкту. Отриманий об’єкт носить назву «Фрактальної фігури». Процес спадкоємства можна продовжувати до безкінечності. Таким чином, можна описати і такий графічний елемент, як пряму.

Змінюючи і комбіную забарвлення фрактальних фігур можна моделювати образи живої і неживої природи (наприклад, гілки дерева або сніжинки), а також, складати з отриманих фігур «фрактальну композицію». Фрактальна графіка, також як векторна і тривимірна, є обчислюваною. Її головна відмінність в тому, що зображення будується по рівнянню або системі рівнянь. Тому в пам’яті комп’ютера для виконання всіх обчислень, нічого окрім формули зберігати не потрібно.

Лише змінивши коефіцієнти рівняння, можна отримати абсолютно інше зображення. Ця ідея знайшла використання в комп’ютерній графіці завдяки компактності математичного апарату, необхідного для її реалізації. Так, за допомогою декількох математичних коефіцієнтів можна задати лінії і поверхні дуже складної форми.

Отже, базовим поняттям для фрактальної комп’ютерної графіки є «Фрактальний трикутник». Потім йде «Фрактальна фігура», «Фрактальний об’єкт»; «Фрактальна пряма»; «Фрактальна композиція»; «Об’єкт — батько» і «Об’єкт спадкоємець». Слід звернути Вашу увагу на те, що фрактальна комп’ютерна графіка, як вигляд комп’ютерної графіки двадцять першого століття набула широкого поширення не так давно.

Її можливості важко переоцінити. Фрактальна комп’ютерна графіка дозволяє створювати абстрактні композиції, де можна реалізувати такі композиційні прийоми як, горизонталі і вертикалі, діагональні напрями, симетрію і асиметрію і ін. Сьогодні небагато комп’ютерників в нашій країні і за кордоном знають фрактальну графіку. З чим можна порівняти фрактальне зображення? Ну, наприклад, із складною структурою кристала, з сніжинкою, елементи якої вишиковується в одну складну структуру. Це властивість фрактального об’єкту може бути вдало використана при складанні декоративної композиції або для створення орнаменту. Сьогодні розроблені алгоритми синтезу коефіцієнтів фрактала, що дозволяє відтворити копію будь якої картинки скільки завгодно близькою до вихідного оригінала.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Fraktalna Grafika (111.0 KiB, Завантажень: 32)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6
завантаження...
WordPress: 23.22MB | MySQL:26 | 0,328sec