Курсова робота на тему: «ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ З ДВОМА НЕЗАЛЕЖНИМИ ЗМІННИМИ»

ЗМІСТ

ВСТУП    3

  1. Класифікація рівнянь з частинними похідними 2-го порядку    4
    1. Диференціальні рівняння з двома незалежними змінними    4
    2. Класифікація рівнянь 2-го порядку з декількома незалежними змінними    10
    3. Канонічні форми лінійних рівнянь з сталими коефіцієнтами    12
  2. Задачі, що приводять до рівнянь Лапласа. Стаціонарне теплове поле. Постановка крайових задач    15
  3. Розв’язок крайових задач в найпростіших областях методом поділу змінних    17
    1. Перша крайова задача    17
    2. Інтеграл Пуассона    20
    3. Випадок розривних крайових значень    24

ВИСНОВКИ    27

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ    28

 

ВСТУП

При математичному описанні різних явищ природи часто приходять до математичних моделей у вигляді рівнянь, які містять незалежні змінні, невідому функцію та її похідні. Такі рівняння називаються диференціальними. Диференціальні рівняння, в яких невідома функція залежить від двох і більше незалежних змінних називають диференціальними рівняннями з частинними похідними. В даній роботі розглядаються такі рівняння, даються відповідні означення та доводяться важливі леми.

Розділ математики, який вивчає диференціальні рівняннями з частинними похідними, що описують різноманітні фізичні явища, називають математичною фізикою. Назва математична фізика пояснюється тим, що метод дослідження, який характеризує цю галузь науки, є математичним по суті. Проте постановка задач в цій галузі, що тісно пов’язана з вивченням фізичних явищ має специфічні риси. Так, початкова й кінцева стадії процесу якісно різняться між собою й вимагають застосування різних математичних методів.

Найвищий розквіт розвитку методів класичної математичної фізики пов’язаний із прізвищами Ж. Лагранжа, Л. Ейлера, П. С. Лапласа, Д. Бернуллі, Ж. Фур’є, К. Ф. Гауса, О. Л. Коші, Г. Ф. Рімана, М. В. Остроградського, А. М. Ляпунова, В. А. Стеклова та багатьох інших.

Курсова робота ставить завдання постановки крайових задач, розв’язання їх в деяких найпростіших областях методом Фур’є, а також розгляд задач Діріхле, при розв’язанні яких використовуються тільки тригонометричні функції.

 

  1. Класифікація рівнянь з частинними похідними 2-го порядку
    1. . Диференціальні рівняння з двома незалежними змінними.

Означення 1. Рівнянням з частинниими похідними 2-го порядку з двома незалежними змінними x, y називають співвідношення між невідомою функцією u(x,y) і її частковими похідними до 2-го порядку включно:

.

Аналогічно записується рівняння і для більшого числа незалежних змінних.

Означення 2. Рівняння називається лінійним відносно старших степенів, якщо воно має вигляд:

, (1)

де ― функції .

Якщо коефіцієнти залежать не тільки від і , а є подібно до , функціями , то таке рівняння називають квазілініним.

Рівняння називають лінійним, якщо воно лінійне як відносно старших похідних , так і відносно функції і її похідних 1-го порядку :

, (2)

де ― функції , . Якщо коефіцієнти рівняння (2) не залежать від x і y, то воно являє собою лінійне рівняння з сталими коєфіцієнтами. Рівняння називають однорідним, якщо .

З допомогою перетворення змінних

, ,

що допускає обернене перетворення, ми отримаємо нове рівняння, еквівалентне вихідному. Природно поставити запитання: як вибрати і , щоб рівняння з цими змінними мало найпростішу форму?

Дамо відповідь на поставлене запитання. Перетворимо похідні в нові змінні, отримаємо:

 

(3)

 

Підставляючи значення похідних з (3) в рівняння (1), будемо мати:

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Dyf Rivn (590.4 KiB, Завантажень: 14)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Dyf Rivn (76.1 KiB, Завантажень: 8)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
завантаження...
WordPress: 23.22MB | MySQL:26 | 0,311sec