Контрольна робота з МВМ на тему «Визначники 2-го і 3-го порядку»

План

  1. Детермінанти 2-го порядку    3
  2. Детермінанти 3-го порядку    5
  3. Детермінанти n-го порядку. Основні властивості детермінантів.    9
  4. Мінори і алгебраїчні доповнення. Розкладання детермінанта за елементами рядка або стовпця    12

Крім розглянутого методу Гаусса існують й інші методи розв’язування систем лінійних рівнянь. Серед них важливе місце займає метод розв’язування систем за допомогою так званих детермінантів.

  1. Детермінанти 2-го порядку.

Розглянемо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

    (1)

Розв’яжемо її за методом Гаусса. Якщо , то система (1) зводиться до рівносильної системи


Термін «детермінант» походить від латинського слова determine», що означає «визначати». Вживання цього терміна в алгебрі пояснюється тим, що детермінанти визначають розв’язки систем лінійних рівнянь. Замість терміна «детермінант» вживають також термін «визначник».

Припускаючи, що

,    (2)

з другого рівняння цієї системи знаходимо

,

а з першого (після підставляння знайденого виразу для х2
і відповідних спрощень)

.

тобто при умові (2) система (1) має єдиний розв’язок

,     (3)

Легко помітити, що чисельники й знаменники у цих формулах побудовані за тим самим правилом: кожний з цих виразів утворено з чотирьох чисел як різницю попарних добутків.

Щоб полегшити запам’ятовування цих формул, а також намітити шлях для дальших узагальнень, введемо такі позначення.

Розглянемо якусь квадратну матрицю 2-го порядку:


Детермінантом цієї матриці називатимемо число А1В2А2В2 позначатимемо його символом


Отже,

= А1В2А2В2     (4)

Наприклад,

=.

Детермінант матриці 2-го порядку називають детермінантом. 2-го порядку.

Знаменник формул (3) характеризується тим, що він утворений лише з коефіцієнтів при невідомих системи (1), тобто з елементів матриці системи


Будемо називати детермінант цієї матриці


детермінантом системи (1). Отже, знаменник кожної з формул (3) є детермінантом цієї системи.

За допомогою символа (4) формулам (3) розв’язку системи (1) можна надати вигляду

,

Формули (5) можна записати ще компактніше. Для цього позначимо детермінант системи грецькою буквою Δ («дельта»):

.

Легко впевнитись, що у формулі для визначення х1 у чисельнику стоїть детермінант, утворений з детермінанта Δ заміною першого стовпця стовпцем вільних членів. Позначимо цей детермінант через Δ1. Аналогічно до цього чисельник формули для визначення х2 позначимо через Δ2, розуміючи його як детермінант, утворений з Δ заміною другого стовпця стовпцем вільних членів.

Тоді формули (5) можна коротко записати так:

,     (6)

а умова (2) набирає вигляду .

  1. Детермінанти 3-го порядку.

Нехай тепер задано систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

    (7)

Для розв’язання системи (7) можна також застосувати метод Гаусса або використати знайдені формули розв’язку системи двох рівнянь з двома невідомими.

Розв’яжемо спочатку підсистему двох рівнянь системи (7), наприклад, систему перших двох рівнянь. Якщо припустити, що


і переписати цю підсистему у вигляді:

    (8)

то згідно сказаного вище дістанемо

,

    (9)


Отже, при будь-якому значенні х3 (що відіграє роль вільного невідомого) знайдені х1, х2 утворюють розв’язок підсистеми (8). Підставивши ці величини в третє рівняння системи (7), знайдемо, при якому значенні х3 задовольнятиметься і воно, а тому й уся система (7), Маємо:


або    –

(10)

або остаточно


Якщо припустити, що коефіцієнт при х3 відмінний від нуля, дістанемо

    (11)

Підставивши це значення х3 у формули (9), дістанемо:

    (12)

    (13)

Формули (11), (12) і (13) дають єдиний розв’язок системи (7). Зауважимо, що для цього результату знов істотним було лише припущення

    (14)

Що ж до додаткового припущення


то при порушенні його знайдені формули все-таки залишаться справедливими. Справді, з умови (14) випливає (це особливо очевидно у записі (10)), що тоді хоч одне з чисел



відмінне від нуля. Якщо таким є перше число, можна розв’язати підсистему (8) відносно х2 і х3 (а далі з третього рівняння знайти x1; якщо – друге, то підсистему (8) можна розв’язати відносно х2 і х3 (а з третього рівняння, знайти х2). Можна переконатись, що в усіх випадках дістаємо ті самі формули (11) – (13) розв’язку системи (7).

Легко помітити, що ці формули за своєю будовою дуже подібні. їх чисельники і знаменники утворені за тим самим правилом, причому знаменники однакові і побудовані лише з коефіцієнтів при невідомих.

За аналогією з попереднім введемо поняття детермінанта 3-го порядку. Детермінантом довільної матриці 3-го порядку

називають число

    (15)

Детермінант матриці 3-го порядку називають детермінантом 3-го порядку.


З означення (15) видно, що детермінант 3-го порядку є алгебраїчною сумою шести членів, утворених з дев’яти елементів квадратної матриці 3-го порядку за певним правилом. Кожний член є добутком трьох елементів і беруть його з певним знаком.

Згідно з означенням першої (головної) діагоналі матриці вважатимемо, що елементи ап, а22, а33 розміщені уздовж першої діагоналі детермінанта, а елементи а13, а22, а31
— уздовж другої діагоналі детермінанта. Можна помітити, що добутки, взяті із знаком плюс, утворилися при множенні елементів, які розміщені вздовж першої діагоналі або стоять у вершинах трикутника, одна з сторін якого паралельна першій діагоналі. Вважатимемо, що ці три члени дістаємо утворенням добутків «паралельно» першій діагоналі (рис. 1). Три інші члени, які взято із знаком мінус, дістаємо утворенням добутків «паралельно» другій діагоналі детермінанта (рис. 2)

Приклад. Обчислимо детермінант


Користуючись установленим правилом діагоналей, дістаємо

Повернемось тепер до формул (11) — (13) розв’язку системи (7). У знаменнику кожної з цих формул стоїть детермінант

.

Він є детермінантом матриці, утвореної з коефіцієнтів при невідомих, і називається детермінантом системи (7).

  1. Детермінанти n-го порядку. Основні властивості детермінантів

Розв’язувати системи лінійних рівнянь з двома і трьома невідомими можна за допомогою детермінантів 2-го і 3-го поряків.

Для розв’язання довільних систем лінійних рівнянь застосовують детермінанти п-го порядку, які є природним узагальненням уже розглянутих детермінантів. Поняття детермінантів 2-го і 3-го порядку було введено в п.1, 2 при аналізі розв’язків відповідних систем лінійних рівнянь. Переходячи до розгляду систем лінійних рівнянь з довільним числом невідомих, зробимо навпаки: спочатку введемо поняття детермінанта n-го порядку і вивчимо його властивості, а потім застосуємо знайдені результати до розв’язування систем лінійних рівнянь.

Нехай дано квадратну матрицю n-го порядку:    .

.

Означення. Детермінантом п-го порядку матриці А називається алгебраїчна сума усіх можливих п! членів, кожний з яких є добутком п елементів, узятих по одному і тільки по одному з кожного рядка і кожного стовпця матриці А; знак члена визначається множником (—1)t, де t –
число інверсій у перестановці других індексів елементів даного члена, якщо він упорядкований за першими індексами.

Це означення цілком аналогічне означенню детермінанта 3-го порядку і додаткових пояснень не потребує. Зауважимо, що в цьому означенні число членів п можна не зазначати, бо воно визначається способом утворення членів детермінанта.

Детермінант матриці А позначають символом


Елементи» рядки і стовпці матриці А називають також елементами, рядками і стовпцями детермінанта А.

Якщо довільний член Т детермінанта Δ подати у вигляді

,

то для детермінанта Δ можливий такий символічний запис:


Перші індекси – номери рядків – у кожному члені нормально впорядковані. Другі індекси k1, k2 . . . , knномери стовпців – у кожному члені утворюють якусь з п!
перестановок з чисел 1, 2, . . . , п. Число інверсій у кожній такій перестановці позначено буквою t. Зрозуміло, що подвійна перестановка індексів (1, k1), (2, k2), …. (п, kn) повністю визначає член детермінанта, а саме: елементи, добутком яких є даний член, і його знак.

Основні властивості детермінантів. Застосування детермінантів до розв’язування систем лінійних рівнянь, а також практичні методи їх обчислення спираються на ряд властивостей детермінантів довільного порядку, до розгляду яких ми і перейдемо.

Теорема 1. Якщо в детермінанті nгo
порядку поміняти місцями два рядки, то детермінант змінить знак, а його абсолютна величина не змінится.

Наслідок. Якщо детермінант Δ має два однакових рядки (тобто рядки, відповідні елементи яких рівні), то Δ = 0.

Теорема 2. Якщо в детермінанті Δ п-го порядку всі елементи одного з рядків помножити на число т, то величина детермінанта також
помножиться на т.

Теорему, очевидно, можна сформулювати ще так: спільний множник елементів одного рядка можна виносити за знак детермінанта.

Наприклад,


Наслідок. Детермінант, в якого відповідні, елементи двох рядків пропорціональні, дорівнює нулю.

Теорема 3. Якщо елементи р-горядка детермінанта п-го порядку є сумами двох доданків:

,

то цей детермінант можна подати як суму двох детермінантів n-го
порядку:


де детермінанти, утворені з заміною елементів рго
рядка відповідно першими або другими доданками цих елементів

;

Наслідок. Якщо до елементів якогось рядка детермінанта п-го порядку додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне й те саме число, то величина детермінанта не зміниться.

Рівноправність рядків і стовпців детермінанта. Усі розглянуті властивості детермінанта п-го порядку були сформульовані відносно його рядків. Ураховуючи, що в означенні детермінанта (зокрема у другій формі цього означення) рядки і стовпці виконують цілком однакову роль, можна чекати, що аналогічні властивості будуть справедливі і для стовпців детермінанта. Покажемо, що це справді так.

Називатимемо транспонуванням детермінанта заміну всіх рядків детермінанта його стовпцями з тими самими номерами. Це означає, що для детермінанта


транспонований детермінант ‘ має вигляд:


Теорема 4. Детермінант п-го порядку при
транспонуванні не змінює своєї величини.

Наслідок. Усі властивості, які мають місце для рядків детермінанта п-го порядку, справедливі і для його стовпців.

  1. Мінори і алгебраїчні доповнення. Розкладання детермінанта за елементами рядка або стовпця.

Для вивчення дальших властивостей детермінантів введемо поняття мі нора і алгебраїчного доповнення.

Нехай нам задана матриця А п-го порядку


Викреслимо в ній і-й рядок і j-й стовпець. Елементи, що залишаться? утворять квадратну матрицю В(п — 1)-го порядку і, отже, з них можна утворити детермінант (п — l)-го порядку. Позначимо цей детермінант символом Мij
і назвемо його мінором (п — l)-го порядку . матриці А («мінор» означає «менший»). Отже, маємо таке означення.

Означення 1. Мінором (п— 1)-го
порядку Мij матриці п-го порядку А називається детермінант матриці (п—1)-го порядку, утвореної з матриці А викреслюванням і-го рядка і jго
стовпця, тобто:


Приклад 1. З матриці 3-го порядку


можна утворити такі мінори 2-го порядку.

, ,

і т. д. Усіх таких мінорів для матриці 3-го порядку можна побудувати 9. З матриці n-го порядку можна побудувати, як легко впевнитись, всього n2 мінорів (п—1)-го порядку — за числом елементів цієї матриці.

Зауважимо, що згідно з означенням детермінанта мінор (1) є алгебраїчною сумою (п—1)! членів. Кожний член є добутком п —1 елементів, взятих по одному і тільки по одному з кожного рядка і кожного стовпця матриці В, яку дістаємо внаслідок викреслювання з матриці А і-го рядка і j-го стовпця. Іншими словами,


де tB
— число інверсій у перестановці

(1, k1), (2, k2), … , (і—1, ki-1), (i +1, ki+1), … (n, kn). Введемо тепер поняття алгебраїчного доповнення елемента аij.

Означення 2. Алгебраїчним доповненням Аij елемента аij матриці п-го порядку А називається мінор (п – 1)-го порядку Мij помножений на (–1)i+j, тобто
Аij
= (–1)i+j Мij

Приклад 2. Для наведеної в прикладі 1 матриці 3-го порядку маємо такі алгебраїчні доповнення елементів а11
і а32:

.

Розкладання детермінанта за елементами рядка або стовпця. Введені поняття мінорів і алгебраїчних доповнень дають можливість звести обчислення детермінантів n-го порядку до обчислення детермінантів (п— 1)-го порядку. Це має важливе значення, бо дає метод обчислення детермінантів будь-якого порядку.

Справедлива така теорема.

Теорема 1. Детермінант, у якого всі елементи iго
рядка (j-го стовпця), крім елемента аij, дорівнюють нулю, дорівнює добутку цього елемента аij на його алгебраїчне доповнення Аij, тобто величині аij Аij.

Справедлива наступна теорема, яку можна назвати теоремою про розкладання детермінанта п-го порядку за елементами довільного рядка, або стовпця.

Теорема 2. Детермінант Δ n-го порядку дорівнює сумі всіх добутків елементів довільного рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення, тобто

(16).

або

.(17)

Формулу (16) називають розкладом детермінанта Δ
за елементами і-го рядка, а формулу (17) — розкладом цього детермінанта за елементами j-го стовпця.

Доведення. Доведення теореми проведемо лише відносно рядків, бо відносно стовпців доведення аналогічне.

Подамо кожний елемент аij
j -го рядка детермінанта Δ у вигляді суми п доданків, з яких п — 1 доданків дорівнюють нулю, а j -й доданок дорівнює числу аij, тобто

аij
= 0 + 0 + … + 0 + аij+ 0 +…+ 0 (j = 1, 2, …, п).

Детермінант Δ в цьому випадку матиме вигляд


Через те, що кожний з елементів i-го рядка є сумою п доданків, то, згідно з теоремою 3, (властивості детермінантів) детермінант А можна подати у вигляді суми:


Ці детермінанти побудовані за одним принципом: усі елементи їх і-го рядка, крім одного, дорівнюють нулю. За теоремою 1 такі детермінанти дорівнюють добуткам цих відмінних від нуля елементів i-го рядка на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

Отже,


і формула (16) справедлива. Теорему доведено.

Формули (16) і (17) широко використовуються при обчисленні детермінантів. Зауважимо також, що саме з цих формул стає зрозумілою назва величин Аij
як «алгебраїчних доповнень» елементів аij. Так, наприклад, Аij
є множник, з яким у розклад детермінанта входить елемент аij. Аij
«доповнює» в розкладі детермінанта елемент аi2
і т. д.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Контрольна робота++ (255.5 KiB, Завантажень: 0)

завантаження...
WordPress: 22.9MB | MySQL:26 | 0,389sec