Конспект лекції на тему “Мішаний добуток трьох векторів”

План.

  1. Геометричний зміст мішаного добутку.
  2. Вираження мішаного добутку у координатній формі.
  3. Властивості мішаного добутку.
  4. Умова компланарності трьох векторів.
  5. Застосування мішаного добутку.
  6. Подвійний векторний добуток.

 

 

 

Зміст лекції

  1. Геометричний зміст мішаного добутку.

Розглянемо довільну впорядковану трійку векторів , і . Помножимо векторно на і добутий вектор помножимо скалярно на , тоді в результаті дістанемо число, яке позначимо символом . Це число називається векторно-скалярним, або мішаним добутком трьох векторів , і .

Означення. Мішаним (або векторно-скалярним) добутком трьох (упорядкованих) векторів , , називається скалярний добуток векторного добутку перших двох векторів і на третій вектор :

.

Геометричний зміст мішаного добутку розкривається такою теоремою:

Теорема 1. Абсолютна величина мішаного добутку
трьох упорядкованих векторів
, , дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого
на векторах
, , (віднесених до спільного початку). При цьому
>0, якщо
трійка , ,
права (має однакову орієнтацію з базисом), і
<0, якщо трійка , ,
ліва (трійка
, , і базис мають протилежну орієнтацію).

У випадку, коли вектори , , компланарні,

.

Доведення. Нехай вектори , , – некомпланарні. Позначимо через площу паралелограма, побудованого на векторах , і через – одиничний вектор (орт) (рис. 1).

Тоді:

,

а .        (1)

Але , де – висота паралелепіпеда, побудованого на векторах ,
,
, за основу

якого взято паралелограм, визначений векторами ,
.

Отже, позначаючи об’єм паралелепіпеда через , з (1) матимемо:

.                        (2)

Встановимо, в яких випадках треба брати знак плюс, в яких – мінус. З того, що , де , випливає, що , якщо >0, тобто коли вектор
розміщений з тієї ж сторони площини , що й , тобто коли ,
,
– права трійка, і , якщо <0, отже, коли вектори і лежать по різні сторони площини , тобто коли ,
,
– ліва трійка.

Ми припустили, що вектори ,
,
– некомпланарні. Коли ж вектор лежить в площині , тобто ,
,
компланарні, то і, очевидно, . Нарешті, якщо і
колінеарні, тоді , а отже, і . Теорема доведена.

Приклад. Вектор перпендикулярний до векторів і , кут між ними Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах

якщо


Розв’язання. Відомо, що Знайдемо спочатку векторний добуток векторів і :


Тепер знайдемо мішаний добуток


Проте , де –об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ,
,
.


Отже, а

 

  1. Вираження мішаного добутку у координатній формі.

Теорема 2. Якщо вектори , , задані своїми координатами:

=,
=
,
=
,

то мішаний добуток визначається за формулою:

=.                (3)

Доведення. Оскільки =, то для доведення теореми треба лише виразити в координатах вектор і помножити його скалярно на вектор =.

За теоремою, коли вектори і задані своїми координатами відносно ортонормованого базису , , :

=, =,

то векторний добуток вектора на вектор визначається формулою:

=,

тобто

=+,

або в скороченому позначенні

=

Далі, за теоремою, що скалярний добуток векторів і заданих своїми координатами

=, =

відносно базису , , , дорівнює сумі попарних добутків відповідних їх координат:

=,

маємо


Останній вираз є не що інше, як розклад визначника третього порядку за елементами рядка.

Тому остаточно:

=

Теорема доведена.

 

  1. Властивості мішаного добутку.


Якщо в мішаному добутку поміняти місцями які-небудь два множники, то мішаний добуток змінить знак


Справді, якщо ми поміняємо місцями два яких-небудь множники, то це рівносильно тому, що у визначнику (3) поміняти місцями два рядка, а від цього визначник змінює знак.


Якщо в мішаному добутку поміняти місцями дві пари множників, то мішаний добуток не зміниться:


Справді, це рівносильно тому, що у визначнику (3) поміняти місцями дві пари рядків, а від цього визначник не змінюється.


За комутативною властивістю скалярного добутку


З останніх двох властивостей дістаємо


тобто у мішаному добутку знаки операцій векторного і скалярного добутків можна міняти місцями. Тому мішаний добуток скорочено позначають символом


Якщо вектори , , компланарні, то їхній мішаний добуток дорівнює нулю, тобто


і навпаки, якщо мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, то вектори компланарні.

Справді, якщо вектори компланарні, то один з них можна розкласти за двома іншими. Наприклад, Тоді


Згідно з алгебраїчними властивостями скалярного і векторного добутків, числові множники можна виносити за знак добутку, за властивостями мішаного добутку множники можна переставляти місцями, змінюючи при цьому знак. Отже,


Проте
Тоді Якщо вектори , і компланарні, то об’єм паралелепіпеда, побудованого на них, дорівнює нулю. Якщо то або об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах, дорівнює нулю (це можливо тоді, коли лежить у площині основи паралелепіпеда), або . При цьому вектори , , –компланарні.

 

  1. Умова компланарності трьох векторів.

Теорема 3.
Необхідна і достатня умова компланарності векторів , , є рівність нулю їх мішаного добутку, тобто

Доведення. Необхідність: Нехай вектори , , –компланарні. Покажемо, що Якщо вектори , , –компланарні, то об’єм паралелепіпеда, побудованого на таких трьох векторах буде дорівнювати нулю.

Достатність: Нехай Покажемо, що вектори , , –компланарні. Ми показали, що мішаний добуток Припустимо, що звідки слідує де виходить а звідси
. Це значить, що вектори , , –компланарні. Нехай звідки слідує . Звідси виходить, що вектори , , –компланарні. Доведено.

Наслідок.
Для того, щоб три вектори були компланарними, необхідно і досить, щоб

=0.                    (4)

Приклад. Перевірити, чи компланарні такі вектори:




Розв’язання. Якщо вектори компланарні, то їхній мішаний добуток дорівнює нулю. Знайдемо мішаний добуток векторів , , :


  1. Застосування мішаного добутку.

Наслідок.
Об’єм тетраедра. Нехай задано чотири некомпланарні точки , , , . Знайти об’єм тетраедра .

Доведення. Нехай тетраедр задано своїми вершинами , , , і треба визначити його об’єм. Добудуємо тетраедр до трикутної призми , а трикутну призму – до паралелепіпеда (рис. 2). Позначимо об’єм паралелепіпеда через , а трикутної призми – через . Відомо, що


Отже,


Визначимо вектори , , :




Отже,


або

    (5)

Приклад. Обчислити об’єм тетраедра вершини якого розташовані в точках , , , .


Розв’язання. Знаходимо вектори , , , які збігаються з ребрами, що сходяться у вершині :

, , .

Оскільки об’єм тетраедра дорівнює об’єму паралелепіпеда побудованого на векторах , , , то


Приклад. Обчислити об’єм тетраедра, заданого вершинами


Розв’язання. За формулою (5):


6.    Подвійний векторний добуток.

Нехай задано три вектори: , , .

Означення.
Подвійним векторним добутком трьох векторів , , називається вектор, який є результатом двох послідовних векторних добутків, тобто вираз типу або . В загальному випадку , тобто асоціативна властивість не виконується.

Теорема 3.
Для будь-яких трьох векторів , , виконуються рівності


.
            (*)

Доведення. Введемо прямокутну декартову систему координат таким чином: вісь направимо вздовж вектора , вісь візьмемо в площині векторів на і , вісь перпендикулярно до цієї площини. Відносно системи координат наші вектори матимуть координати:

(рис. 3). Обчислимо в координатах ліву і праву частину рівності (*).

Для лівої частини тотожності (*) маємо: тоді

            (∆)

Для правої частини тотожності дістаємо:


;



Отже,                     (∆∆)

Тому що праві частини рівностей (∆) і (∆∆) однакові, то, порівнявши їх ліві і праві частини, дістаємо потрібну тотожність (*).

Отже, Теорема доведена.

Тотожність Лагранжа:

            (▪)

Для доведення тотожності покладемо Тоді


Зокрема

                    (▪▪)

Якщо = і =, то з (ڤ)безпосередньо маємо тотожність Лагранжа в координатній формі:

        (▪▪▪)

 

Використана література

  1. Аналитическая геометрия. Белоусова В.П., Ильин И.Г., Сергунова О.П., Котлова В.М. “Вища школа”, 1973, 328 с. (на украинском языке).
  2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. І. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. Пед. ин-тов.– М.: Просвещение, 1986.– 336 с.
  3. І.М. Конет, В.В. Мойко. Алгебра та геометрія. Частина 1. Кам’янець-Подільський: “Абетка-Нова”, 2001,– 120 с.
  4. Шкіль М.І. та ін. Вища математика: Підручник: У 3 кн.: Кн. І. Аналітична геометрія з елементами алгебри. Вступ до математичного аналізу/ М.І Шкіль, Т.В Колесник, В.М. Котлова.– К.: Либідь, 1994.– 280 с.
ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Konspfgbn (94.4 KiB, Завантажень: 1)

завантаження...
WordPress: 23MB | MySQL:26 | 0,334sec