Комбінаторні задачі

Урок 4

Тема: Комбінаторні задачі.

Мета: перевірити рівень засвоєння основних понять та правил

комбінаторики, вміння їх застосовувати під час розв'язування задач

комбінаторного характеру; розвивати критичність, варіативність та

послідовність мислення; виховувати самостійність.

Тип: урок контролю та корекції знань.

 

ХІД УРОКУ

 

I. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання

Три учні розв'язують домашні задачі біля дошки, відповідають на

запитання однокласників.

III. Виконання вправ

Умови вправ демонструють на кодоплівці або відкидній дошці.

Вправа 1. Розклад уроків одного дня має 5 різних навчальних предметів.

Визначте кількість таких розкладів під час вибору з 11 навчальних

предметів.

Розв'язання. Перший урок можна обрати 11 способами, після цього другий

урок уже можна обрати 10 способами. Після такого вибору третій урок

можна обрати 9 способами, четвертий — 8, а п'ятий — 7 способами. Тобто

за правилом множення маємо 11x10x9x8x7 = 55440 (варіантів розкладу).

Вправа 2. Розклад одного дня має 6 різних уроків. Визначте кількість

варіантів таких розкладів під час вибору з таких предметів: алгебра,

геометрія, українська мова, фізкультура, хімія та фізика так, щоб

алгебра з геометрією йшли поряд.

Розв'язання. Об'єднаємо алгебру з геометрією умовно в один предмет, тоді

маємо 5 предметів і Р5 розташувань. Алгебру та геометрію можна

розставляти «всередині» нового предмета Р2 способами. Всього за правилом

добутку маємо Р5 > х Р2 = 5! х 2! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 х 2 х 1 = 240

(варіантів розкладу).

 

Вправа 3. Є р доріг, що ведуть від С до D через А, та q доріг, що ведуть

від С до D через В (причому А та В не пов'язані дорогами). Скільки можна

скласти автобусних маршрутів, що пов'язують пункти D та С?

 

Розв'язання. Автобусних маршрутів від С до D через А можна скласти р

способами, а від С до D через В — q способами. Оскільки А та В не

пов'язані дорогами, то за правилом суми маємо р + q (способів складання

автобусних маршрутів);

 

Вправа 4. Скількома способами можна вибрати на шахівниці білий та чорний

квадрати, які не лежать на одній і тій самій горизонталі та вертикалі?

Розв'язання. Шахівниця має 8 х 8 = 64 квадрати. З них 32 білих та 32

чорних. Білий квадрат обираємо 32 способами та викреслюємо відповідні

горизонталь та вертикаль. На дошці і залишиться 24 чорних квадрати. За

правилом добутку маємо 32 х 24 = 768 (способів вибору).

Вправа 5. Для учнів було куплено 2n квитків у театр на місця, що

розташовані в одному ряду (в ньому 2n місць). Скільки є способів

розподілу цих квитків між учнями (n хлопчиків та п дівчат), щоб жодні

два хлопці або дівчинки не сиділи поруч?

Розв'язання. Розмістимо хлопчиків на парних місцях, що можна зробити Рn

= n! способами. Дівчат можна розмістити на непарних місцях довільно,

тобто ще Рn = n! способами. Всього за правилом добутку отримаємо (n!)2

способів. Стількома ж способами можна розмістити хлопчиків на непарних

місцях, дівчат — на парних. За правилом суми остаточно маємо

(n!)2 + (n!)2 = 2(n!)2 (способів розподілу місць).

№ 28.27

210

№ 28.28

(7!·4!·2!) ·3!=7·6·5·4·3·2·4·3·2·2·3·2=42·20·27·64=1451520

№ 28.30

Кількість усіх п'ятицифрових чисел 9·104. Кількість п'ятицифрових чисел, усі цифри яких є парними 4·54, тому кількість п'ятицифрових чисел, у записі яких є хоча б одна непарна цифра 9·104 – 4·54.

№ 28.32

Кількість усіх п'ятицифрових чисел 9·104. Кількість п'ятицифрових чисел, усі цифри яких різні 9·9·8·7·6, тому кількість усіх п'ятицифрових чисел, які містять хоча б дві однакові цифри 9·104 - 9·9·8·7·6.

№ 28.34

Якщо знайомі сіли поруч, 9 людей можна розмістити на 9 стільцях 9! Способами. Оскільки знайомі можуть сісти справа або зліва один від одного, то всього варіантів 2·9!.

№ 28.36 (1)

У слові МОЛОКО – 6 літер, проте в ньому 3 літери О. Тому переставляючи букви слова, можна утворити слів. = 6·5·4 =120.

 

IV. Самостійна робота

Кожному учню дається картка з завданнями.

I варіант

1. У книжковому магазині є 6 примірників роману Олеся Гончара «Собор», 3

примірники його ж роману «Тронка» та 4 примірники роману «Берег любові».

Крім того, є 5 томів, що містять романи «Собор» та «Тронка», та 7 томів,

що містять романи «Тронка» та «Берег любові». Скількома способами можна

зробити покупку, що складається з одного примірника кожного з цих

романів?

Розв'язання. Можна купити або примірник кожного роману або том, що

містить два романи та примірник третього роману. За правилами добутку та

суми маємо 6хЗх4 + 5х4 + 7х 6 = 134 (способів покупки).

2. На пікнік поїхало 92 особи. Бутерброди з ковбасою взяли 47 чоловік,

із сиром — 38, з баликом — 42, з сиром та ковбасою — 28, з ковбасою та з

баликом — 31, із сиром та з баликом — 26. Усі три види бутербродів узяли

25 чоловік, а кілька замість бутербродів узяли з собою пиріжки. Скільки

чоловік узяли пиріжки, тільки бутерброди з ковбасою, тільки з сиром,

тільки з баликом?

Розв'язання. U — множина всіх, хто поїхав, А — множина тих, хто взяв

бутерброди з ковбасою, В — множина тих, хто взяв бутерброди з сиром, С —

множина тих, хто взяв бутерброди з баликом.

C) = 31,

C) = 25.

C) = 47 + 38 + + 42-28-31 -26 + 25 = 67.

C) = 92 - 67 = 25 чоловік взяли пиріжки.

 

В) = 67 - 47 - 38 + 28 = 10 чоловік узяли бутерброди з баликом.

C) = 67 - 38 - 42 +26 = 13 — бутерброди з ковбасою.

C) = 67 - 47 - 42+ 31 = 9 — бутерброди з сиром

3. Скільки десятицифрових чисел у десятковій системі числення можна

скласти так, щоб цифри 2 та 6 стояли поруч, а цифри в числі не

повторювалися?

Розв'язання. Об'єднаємо цифри 2 та 6 в одну, тоді способів розміщення

буде Р9 = 9!. Цифри 2 та 6 можна поміняти місцями Р2 способами. Отже, за

правилом добутку маємо Р9 х Р2 = 9! х 2! = 2 х 9! чисел. Але ж треба

відняти числа, які починаються з 0, їх Р8, тоді остаточно маємо Р9 х Р2

Р8 = 9! х2 — 8!х 2! = 8! 2! (9 - 1) = 8! х 16 (чисел).

 

П варіант

1. В Англії є звичай давати дітям кілька імен. Скількома способами

можна назвати малюка, якщо загальна кількість імен дорівнює 300, а дають

йому не більше трьох імен?

Розв'язання. Малюку можна дати одне або два, або три імені, причому всі

вони різні. Всього за правилами суми та добутку маємо 300 + 300 х 299 +

+300 х 299 х 298 = 26 820 600 (способів).

2. З 80 туристів, які поїхали за кордон, володіють німецькою 30

чоловік, англійською — 20, французькою — 32, англійською та німецькою —

5, англійською та французькою — 6, німецькою та французькою — 3, трьома

мовами володіють 2 чоловіки. Скільки туристів не володіють жодною мовою;

володіють лише англійською, лише німецькою, лише французькою?

Розв'язання. U — множина всіх туристів, А — множина тих, хто володіє

англійською, В — множина тих, хто володіє німецькою, С— множина тих, хто

володіє французькою.

C) = 6,

C) = 2.

C) = 20 + 30+32-5-6-3+2 = 70.

С) = 80 -70 = 10 туристів не володіють не однією мовою.

В) = 70 - 20 - 30 + 5 = 25 туристів володіють лише французькою мовою.

C) = 70 - 20 - 32 + 6 = 24 туристів володіють лише німецькою мовою.

B) = 70-30-32 + 3 = 11 туристів

3. Скількома способами можна вишикувати в одну шеренгу гравців двох

футбольних команд з 11 чоловік так, щоб при цьому два футболісти однієї

команди не стояли поруч?

Розв'язання. Гравців однієї команди можна розмістити умовно під парними

номерами Р11 = 11! способами. Гравців іншої команди можна тоді

розмістити під непарними номерами теж 11! способами. Всього за правилом

добутку маємо (11!)2 способів. Стількома ж способами можна розмістити

гравців першої команди під непарними номерами, а іншої — під парними. За

правилом суми маємо (11!)2 + (11!)2 = 2 (11!)2 (способів розташування).

Домашнє завдання

№28.6°

3·6 +3·5 + 6·5 = 18+15+30=63

№ 28.35°°

( 5!)2

№ 29.19

( · · ) / 3! = 5775

№ 29.21

Розмістимо в ряд m білих куль. Чорна куля може зайняти одне з m + 1 положень: крайня зліва, між будь-якими білими кулями, крайня справа. Всього

положень.

№ 29.22

Розмістимо кулі в ряд. Чотири «перегородки» ділять ці кулі на 5 груп. Отже, кількість способів розкладання куль по ящиках дорівнює кількості способів розміщення 4 перегородок на 16 місцях:

= = = 4·5·7·13=1820

 

 

V. Підведення підсумків

 

VI. Домашнє завдання

Домашнє завдання дається за підручником .

№ 28.20°

4!· 2= 4·3·2·2 =48

№ 28.35°°

5! - 2·4!= 4!·(5 -2)= 4·3·2·3= 72

Запитання для самоконтролю

оформлюють у вигляді плаката та вивішують на дошці.

1. Скільки можна зробити з п елементів перестановок, у яких два

елементи а і b не стоять поруч?

Розв'язання. Усіх перестановок можна зробити Рn = n!. З них таких, що а

і b стоять поруч, буде Р2 х Рn -1 = 2(n — 1)!. Тому шукане число

дорівнює Рn – Р2 х Рn-1 = n! - 1(n - 1)! = (n -2)(n- 1)!.

2. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр І, 2, 3, 4, 5, якщо

кожну цифру можна використовувати не більше, ніж один раз? Більше одного

разу?

Розв'язання. За правилом добутку маємо 5 х 4 х 3 = 60 чисел. Якщо цифри

можуть повторюватися, то 5 х 5 х 5 = 125 чисел.

3. На одній з бічних сторін трикутника взято т точок, на другій — n

точок. Кожну з вершин при основі трикутника сполучено прямими з точками,

які взято на протилежній стороні. Скільки точок перетину цих прямих

утворюється всередині трикутника?

Розв'язання. За правилом добутку маємо m х n точок.

4. Десять груп навчаються в десяти розміщених поряд аудиторіях. Скільки

існує варіантів розміщення груп по аудиторіях, за яких групи № 1 і № 2

перебуватимуть у сусідніх аудиторіях?

Розв'язання. Умовно об'єднаємо групи N° 1 і № 2 в одну, тоді способів

розміщення буде P9. Групи № 1 і № 2 можна поміняти місцями Р2 способами.

Отже, за правилом добутку, маємо Р9 х Р2 = 9! х 2! = 2 х 9! (варіантів

розміщення).

Запитання для самоконтролю:

1. Яким словом можна замінити слово «множина»?

2. Що таке елемент множини?

3. Як позначаються множини та їх елементи?

4. Як позначається порожня множина?

5. Наведіть приклади скінченних та нескінченних множин.

6. Які ви знаєте способи задання множин?

7. Наведіть приклад числової множини та її підмножини.

8. Як позначається кількість елементів?

9. Продовжіть речення:

а) об'єднанням двох множин називається ... та позначається ...

б) перерізом двох множин називається .... та позначається ...

в) різницею двох множин називається ... та позначається ...

10. Хто ввів поняття «комбінаторика»?

11. Як на вашу думку, кому доводиться розв'язувати комбінаторні задачі?

12. Сформулюйте комбінаторне правило додавання.

13. Запишіть комбінаторне правило додавання для трьох множин.

14. Сформулюйте комбінаторне правило добутку.

15. Як ви розумієте поняття «факторіал»?

16. Яка множина називається впорядкованою?

17. Як ви розумієте поняття «перестановка з п елементів»?

18. Обчисліть кількість перестановок з 4, 5, п елементів.

 

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 4 (20.9 KiB, Завантажень: 67)

завантаження...
WordPress: 22.85MB | MySQL:26 | 0,354sec