Комбінаторне правило множення. Перестановки

Урок 2,3

Teмa: Комбінаторне правило множення. Перестановки.

 

Мета: Ознайомити учнів з правилом множення, ввести поняття факторіала та

перестановки, показати розв’язування простіших задач на застосування цих

понять; формувати математичну культуру; розвивати вміння спілкування в

умовах навчальної діяльності; виховувати вміння працювати й колективі,

почуття відповідальності за спільну справу, інтерес до розв’язування

математичних задач.

 

Обладнання: кодопроектор.

 

Тип: комбінований.

 

                          Хід уроку:

 

I.  Організаційний момент

II.  Перевірка домашнього завдання

III.  Фронтальне опитування

1) Для вирішення яких проблем є корисним знання комбінаторики? Наведіть

приклад відповідної задачі.

2) Які видатні математики створювали та розвивали комбінаторику?

3)  Наведіть приклади використання правила суми.

IV. Дидактична гра

Формуються імпровізовані команди (учні на передніх партах повертаються

до тих, хто сидить за ними, команда складається з 4—6 чоловік). Учитель

диктує умови гри та показує на кодоплівці їх схематичний запис.

— «Ви — експертна група банку, який погодився фінансувати проект

благодійного фонду. Благодійний фонд подав 3 проекти: «Обдарована

дитина—2003», «Допомога в реконструкції храму», «Реконструкція пам’ятки

культури». Ці проекти були захищені на засіданні правління банку. Усього

членів банку — 16. За перший проект проголосувало 8, за другий — 9, за

третій — 9, за перший та другий — 5, за другий та третій — 3, за перший

та третій — 4. Ви як експерти повинні з’ясувати, скільки членів

проголосувало тільки за один проект і за який. Результати будуть

представлені президентові банку, який і вирішить, який проект

фінансувати.

Порада експертам: щоб робота була виконана швидко, розподіліть

обов’язки. Тобто є експерти, які розробляють математичну модель задачі,

а є експерти, які розробляють схематичну модель задачі».

Розв’язання. Нехай U— множина всіх членів правління банку, А — множина

членів правління банку, які проголосували за перший проект, В — множина

членів правління банку, які проголосували за другий проект, С — множина

членів правління банку, які проголосували за третій проект.

n(А) = 8,  n(В) = 9,  n(С) = 9,  n(U)= 16,

 

C) = 3.

C) = 16 – 9 -9 + 3=1 чоловік проголосував тільки за перший проект.

C) = 16 – 8 – 9 + 4 = 3 чоловіки проголосували тільки за другий

проект.

В) = 16 – 8 – 9 + 5 = 4 чоловіки проголосували тільки за третій проект

Розв’язання захищають представники команди, що першою розв’яже задачу,

представники інших команд виступають у ролі опонентів. Члени команди, що

першою правильно розв’яже задачу, отримують 10 балів, другою — 9 балів,

третьою — 8 балів.

V. Зміст нового матеріалу

1. Правило множення.

Вправа 1. З міста А до Б ведуть п’ять доріг, з міста В до С — три.

Скільки доріг, які проходять через В, ведуть з А до С?

Учитель робить схематичний малюнок   та коментує розв’язання.

Розв’язання. Як видно на малюнка, з А до В можна обрати будь-яку з 5

доріг, тобто є 5 можливих способів, а з В до С можна вибрати дорогу

трьома способами, тобто всього маємо 5 х 3 = 15 можливих способів, щоб

потрапити з А до С, проходячи через В.

Вправа 2. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3 так,

щоб:

а) цифри в числі не повторювалися;

б) цифри в числі могли повторюватися. Учитель розв’язує на дошці та

коментує пункт

а) за допомогою дерева логічних можливостей. Для розв’язання пункту б)

можна викликати учня.

Розв’язання. а) На перше місце можна поставити будь-яку з трьох цифр, а

на друге — з двох цифр, що залишаться. Будуємо дерево логічних

можливостей. З нього видно, що таких чисел буде 6 .

б) Розв’язується аналогічно .

Вправа 3. У класі з 28 учнів треба обрати старосту та заступника

старости. Скількома способами це можна зробити?

Учні розв’язують усно за допомогою питань учителя:

1)  Скількома способами можна обрати старосту?

2)  Скільки учнів залишились для вибору заступника після вибору

старости?

3)  Скількома способами можна обрати заступника старости?

4)  Скількома способами можна обрати і старосту, і його заступника?

Розв’язання. Старостою можна обрати будь-якого учня класу, тобто є 28

способів. Заступника старости можна обрати 27 способами. Старосту та

заступника разом можна обрати 28 х 27 = 756 способами.

Ці задачі ілюструють ще одне правило комбінаторики. Учитель показує на

кодоплівці формулювання цього правила, читає його, учні записують у

зошитах.

Правило множення. Якщо елемент а можна вибрати m способами та після

кожного такого вибору елемент b можна вибрати n способами, то вибір пари

а та b y вказаному порядку можна здійснити m х n способами.

Наступні задачі розв’язують учні біля дошки, розмірковуючи аналогічно

попереднім.

Вправа 4. Припустимо, що потрібно сформувати команду космічного корабля

з трьох осіб: командира, інженера та лікаря. На місце командира є 4

кандидати, на місце інженера — 3, а на місце лікаря — 5. Скількома

способами може бути сформовано команда корабля?

Розв’язання. Вибір командира може бути здійснений 4 способами, інженера

— трьома, а лікаря — п’ятьма. Отже, вибір командира й інженера можна

здійснити 3×4 способами, лікаря для кожної такої команди можна вибрати

п’ятьма способами. Отже, команду буде сформовано З х 4 х 5 = 60

способами.

Сформулюємо тепер це правило комбінаторики в загальному вигляді.

Вчитель знов показує правило на кодоплівці, учні записують його в

зошитах.

Правило множення. Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу

дію можна виконати n1 способами, після чого другу дію — n2 способами,

після чого третю дію — n3 способами і так далі до k-ї дії, яку можна

виконати nk способами, то всі  k дій разом можуть виконуватися n1 x n2 x

n3 x…х nk способами.

Вправа 5. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1,2 таких,


що:
а) кожна з цифр повторюється не більш ніж один раз;
б) цифри можуть повторюватися.
Розв'язання:
 а) першою цифрою може бути
одна з двох цифр 1 або 2; коли перша цифра вибрана, то друга може бути
вибрана також двома способами (0 або 1, 0 або 2). За правилом множення
загальна кількість способів дорівнює 2x2 = 4;
б) першою цифрою може бути одна з двох цифр 1 або 2 (дві можливості);
для кожної наступної цифри маємо 3 можливості (0, 1, 2). Отже, 2x3 = 6.
Можна побудувати дерево логічних можливостей .

Вправа 6. Скільки є п’ятицифрових чисел, які діляться на 5?
Розв'язання. На перше місце можна поставити будь-яку з цифр 1, 2, ...,
9, тобто першу цифру можна вибрати 9 способами. Оскільки не говориться,
що цифри не повинні повторюватися, то другу цифру можна обрати 10
способами (ті самі цифри та ще 0), третю та четверту цифри так само, а
ось остання цифра може бути тільки 0 або 5, тобто останню цифру можна
вибрати двома способами. За правилом множення маємо 9 х 10 х 10 х 10 х 2
= 18000.
II. Перестановки
Вправа 7. Скільки одноцифрових чисел можна скласти з цифри 3?
Розв'язання. Одну — 3.
Вправа 8. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 5, 6, щоб цифри
у числі не повторювалися?
Розв'язання. На перше місце можна вибрати одну з двох цифр, на друге
поставимо цифру, що залишиться. За правилом множення 2x1= 2.
Вправа 9. Скільки трицифрових чисел можна скласти з 6, 7, 9, щоб цифри у
числі не повторювалися?
Розв'язання. На перше місце можна поставити будь-яку цифру. Це можна
зробити трьома способами. На друге місце можна поставити будь-яку із тих
цифр, що залишилися. Це можна зробити двома способами. Як тільки вибрані
перші дві цифри, то на третє місце можна поставити одну цифру, що
залишиться. За правилом множення маємо 3x2x1 = 6.
Одночасно з розв'язанням цих задач учитель малює на дошці таблицю й
заповнює її за допомогою учнів (див. табл.).
Таблиця
Множина         Кількість елементів     Кількість чисел           Як визначили  чисел
кількість

{3}                               1                                       1                              1

{5; 6}                           2                                       2                             1 x 2 = 2

{6; 7; 9}                       3                                       6                            1x2x3 = 6

Вправа 10. Скільки різних чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 1,
2, 3, 4 так, щоб цифри не повторювалися?
Розв'язання. 1 х 2 х 3 х 4 = 24.
Вправа 11. Розв'яжіть попередню задачу за умови, що буде n цифр і треба
скласти n-цифрових чисел.
Розв'язання. Розмірковуючи аналогічно, знаходимо кількість способів,
якими можна скласти n-цифрові числа n х (n — 1) х (n — 2) х ... х 4 х  3
х 2 х х1.
Означення. В математиці прийнято позначати 1x2 = 2!; 1x2x3 = 3!; ...;
1 х 2 х 3 х ... n = n!. Читається: «один факторіал, два факторіал, ...,
n-факторіал».
n! — 1 х 2 х 3 х ... х (n — 2) х (n — 1) х n.
Розв'язуючи попередні задачі, можна було просто переставляти цифри
місцями та отримувати різні числа, які б відрізнялися лише порядком
наступності цифр у числі. Конструюючи числа, ми отримували скінченні
числові множини.
Множина, яка складається з n елементів,
називається перестановкою з n елементів і позначається Рn
З розглянутих прикладів можна зробити висновок, що Рn = n!.
А зараз уявіть, що ми з вами потрапили у XIX ст. (інсценізована задача).
Пасажир ходить, очікуючи візника. З'являється візник, і пасажир запитує:
— Може, час запрягати?
— Що Ви? — відповів візник. — Ще півгодини до від'їзду. За цей час я
встигну 20 разів і запрягти, й розпрягти, й знов запрягти. Нам не вперше
...
— А скільки в карету впрягається коней?
— П'ятеро.
— Скільки часу потрібно, щоб запрягти коней?
— Та хвилини дві, не більш.
— Еге ж? — засумнівався пасажир. — П'ять коней запрягти за дві
хвилини... Щось дуже швидко!
— Дуже просто, — відповів візник. — Виведуть коней у збруї, постромках з
вальками, у віжках. Залишиться тільки накинути кільця вальків на крюки,
приструнити двох середніх коней до дишла, взяти віжки в руки, сісти на
козли й гаразд...
— Ну гаразд! — сказав пасажир. — Припустимо, що таким чином можна
запрягти та розпрягти коней хоч 20 разів за півгодини. Але якщо їх треба
перепрягати одну замість іншої, та ще всіх, то цього вже не зробити не
тільки за півгодини, а й за дві.
— Теж просте діло! — вихвалявся візник. — Авжеж, нам не доведеться
перепрягати! Якими завгодно способами я їх всіх перепряжу за годину, а
то й менше, одного коня на місце іншого поставив і гаразд! Діло на
хвилину.
— Ні, ти їх перепряжи не тими способами, якими мені хочеться, — сказав
пасажир, — а всілякими способами, якими тільки можна перепрягти 5 коней,
враховуючи, що на перепрягання одного коня йде одна хвилина, як ти
хвалишся.
Гордість візника було зачеплено.
— Зрозуміло, всіх коней і всілякими способами я зможу перепрягти не
більш, як за годину.
— Я дав би 100 рублів, щоб глянути, як ти зробиш це за годину! — сказав
пасажир.
А я, хоч бідняк, заплачу за Ваш проїзд у кареті, якщо я цього не зроблю,
— відповів візник.
Так і домовились.
Що ж, візник із пасажиром загадали нам задачу: «Скількома способами
можна перепрягти коней?»

Учні розв'язують її самостійно.
Розв'язання. Щоб перепрягти коней одного замість іншого, треба зробити
перестановки з п'яти коней. 5! = 5x4x3x2x1 = 120 способів. Значить, за
годину візник не встигне перепрягти коней. Він програв парі.
VI.  Розв'язування вправ
Умови вправ показують на кодоплівці.
Вправа 12. Скільки різних трицифрових чисел можна утворити з цифр 0, 2,
6?
Розв'язання. Щоб отримати з цифр 0, 2 та 6 різні трицифрові числа,
потрібно скласти перестановки з трьох елементів РЗ = 3!. Але серед таких
чисел будуть такі, що починаються з 0, їх треба відняти. Остаточно маємо
3! -      - 2! = 6 -2 = 4 числа.
Вправа 13. Скільки різних кілець, що світяться, можна утворити,
розмістивши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважають
однаковими, якщо порядок розташування кольорів один і той самий).
Розв'язання. Якби ці 10 різнокольорових лампочок були розміщені в ряд,
то кількість способів розміщення була б Р10 =10!. Але оскільки вони
розміщені по колу, то кожне положення, що відрізняється порядком
розташування кольорів, має 10 «подібних», утворених просто обертанням
цієї системи навколо центра кола.
Вправа 14. Скількома способами можна розмістити 4 книжки з алгебри та 3
з геометрії, щоб усі книжки з геометрії стояли поряд?
Розв'язання. Щоб виконувалась умова про книжки з геометрії, об'єднаємо
книжки з геометрії умовно в одну. Тоді маємо 5 книжок і Р5 розташувань.
Книжки з геометрії, в свою чергу, між собою можна розмістити Р3
способами. Всього за правилом добутку маємо Р5 х Р5 = 120 х 6 = 720
способів.
№29.1
 7! = 7·6·5·4·3·2=  420·12 =5040
№ 29.2
20!
№ 29.4
= 11·10·9·8=7920
№ 29.6
=12·11·10·9·8·7=665280
№ 29.8
=32·31=992
№ 29.9
==5·7·9·13·19=118755
№ 29.10
=
№ 29.12
·=3·2·5·4·3·2=720
№ 29.13
·= ·= 3·7·22·13=6006
№ 29.15
7·  + 12·= 7·  + 12·  = 7·11·6 + 36·7= 462+252=714
№ 29.17
 -  =  –
VII. Підведення підсумків
Учні, які в дидактичній грі заробили бали, протягом уроку мали змогу
отримати додаткові бали. Учнів, які активно працювали на уроці та
розв'язували задачі, вчитель оцінює за своїм розумінням.
VIII. Домашнє завдання

Вчити  §28, 29

Учитель показує на кодоплівці вправи навчальної самостійної роботи та
домашньої роботи. Запитання для самоконтролю оформлюють у вигляді
плаката та вивішують на дошці.
Навчальна самостійна робота (цю роботу учні виконують дома на оцінку).
1. Запишіть наступні додатки за допомогою знака факторіала:
а) 1x2x3x4x5; б) 1х2хЗх4х5х6х7х х8х9;
в) 1 х 2 х ... х (k — 1) х k;
2.  Які з рівностей правильні?
а)  1x2x3x4x5x6x7 = 7!
б)  2 х 3 х 4 х 5 х 6 = 6!;
в)  1x2x3x5x6x7 = 7!;
г)  6x5x4x3x2 = 6!;
3.  Запишіть у вигляді добутку:
а) 3!; б) n!; в) (n - 1)!; г) (n - 3)!; д) (2n)!;
4.  Поставте замість * множник:
а) * х 5! = 7!; б) * х (k - 4)! = (k - 1)!;
в) * х 7! = 8!; г) * х (n - 3)! = n!;
д)  *х(n - 1)! = (n+ 1)!;
Домашня робота:
1.  Скільки   п'ятицифрових   чисел    можна утворити а цифр 1, 2, 3, 4,
5 без повторення, щоб парні цифри не стояли поруч?
Розв'язання. З цих цифр можна побудувати всього Р5  п'ятицифрових чисел.
Серед них є і такі, що містять 2 та 4 поруч, їх буде Р4 х Р2 (якщо 2 і 4
об'єднати в одну цифру, тоді з усіх цифр отримаємо Р4 чисел; 2 і 4 можна
переставити Р2 способами, за правилом множення Р4 х  Р2 чисел).
Остаточно маємо Р5 – Р4 х Р2 = 72 числа.
2. З букв розрізної абетки складено слово «конус». Скільки «слів» можна
отримати, якщо переставити букви в цьому слові? (Словом будемо рахувати
будь-яку послідовність букв).
Розв'язання. Переставляючи місцями букви слова «конус», отримуємо Р5 =
5! нових слів.
3.  Скільки  десятицифрових  чисел   можна утворити в десятковій системі
числення без повторень?
Розв'язання. Всього чисел буде Р10 = 10!, але треба відняти ті, що
починаються з 0, таких чисел буде Р9. Остаточно маємо Р10 – Р9 = 10! -
9! чисел.
Запитання для самоконтролю
1.  Сформулюйте правило добутку.
2.  Поясніть на прикладі поняття факторіала.
3. Яка множина називається впорядкованою?
4.  Поясніть на прикладі поняття перестановки елементів?
5.  Скільки можна отримати перестановок з З, з 5, з n елементів?
№ 29.5
= 15·14·13 = 2730
№ 29.16°
1-й спосіб:  - 15· + 9 ·
2-й спосіб:  -
№ 29.20°°
·     ·  ·   )/ 4!

 

 

 

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 2 (28.7 KiB, Завантажень: 65)

завантаження...
WordPress: 22.86MB | MySQL:26 | 0,343sec