КОЛО, ОПИСАНЕ НАВКОЛО ТРИКУТНИКА

Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини.

Теорема.
Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину перпендикулярів до сторін трикутника, проведених через середини цих сторін.

Доведення. Нехай ABC — даний трикутник і О — центр описаного навколо нього кола (мал. 1). Трикутник АОС — рівнобедрений; у ньому сторони О А і ОС рівні як радіуси. Медіана OD цього трикутника одночасно є його висотою. Тому центр кола лежить на прямій, яка перпендикулярна до сторони АС і проходить через її середину. Так само доводимо, що центр кола лежить на перпендикулярах до двох інших сторін трикутника. Теорему доведено.

Зауваження. Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, часто називають серединним перпендикуляром. У зв’язку з цим інколи говорять, що центр кола, описаного навколо трикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника.


    Мал. 1            Мал. 2            Мал. 3

Задача. Доведіть, що серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника перетинаються.

Розв’язання. Нехай ABC трикутник і а, b — серединні перпендикуляри до його сторін АС і ВС (мал. 2). Припустимо, прямі а і b не перетинаються, а отже, паралельні. Пряма АС перпендикулярна до прямої а. Пряма ВС перпендикулярна до прямої b, а тому і до прямої а, оскільки прямі а і b паралельні. Таким чином, обидві прямі АС і ВС перпендикулярні до прямої а, а тому паралельні. Але це неправильно. Прямі АС, ВС перетинаються в точці С. Ми дійшли до суперечності. Твердження доведено.

 

КОЛО, ВПИСАНЕ В ТРИКУТНИК

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін.

Теорема.
Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.

 

Доведення. Нехай ABC — даний трикутник, О — центр вписаного в нього кола, D, Е і F — точки дотику кола із сторонами (мал. 3). Прямокутні трикутники AOD і АОЕ рівні за гіпотенузою і катетом. У них гіпотенуза АО спільна, а катети OD і ОЕ рівні як радіуси. З рівності трикутників випливає рівність кутів OAD і ОАЕ. А це означає, що точка О лежить на бісектрисі трикутника, проведеній з вершини Л. Так само доводимо, що точка О лежить на двох інших бісектрисах трикутника. Теорему доведено.

завантаження...
WordPress: 22.76MB | MySQL:26 | 0,321sec