КІЛЬЦЕ. ПРИКЛАДИ КІЛЕЦЬ. НАЙПРОСТІШІ ВЛАСТИВОСТІ КІЛЕЦЬ. ПІДКІЛЬЦЕ

Озн. Кільцем наз. алгебраїчну структуру <K, +, *> з двома алгебраїчними операціями + і заданими на всій множині К, яка задов. умови:

а) відносно операції «+» стр. <K,+> утв. адитивну абелеву групу, тобто: 1) ; 2);

3); 4);б) Відносно операції множення стр. <K, *> утв. групу ;

в) Операції «+» і «*» пов’язані розподільним законом .

Якщо операція множення переставна, то кільце комутативне, якщо в кільці 1 відносно «*», то кільце К наз кільцем з 1.

Приклади:
1) Множина Z утв. кільце (з1).2)Множина Мn — усіх матриць n-го порядку з дійсними елем. утв. кільце.3)Множина усіх неперервних функцій на відрізку ;4) Множина Zm –усіх класів лишків утв. кільце

Властивості:1) В кільці . 2)В скінченних сумах і добутках можна довільно розставляти дужки. 3)Для кожного елемента кільця протилежний і якщо обернений, то він теж єдиний. 4) –(a+b)=(-a)+(-b).5) має єдиний розв’язок х=b+(-а) його наз. різницею а і b і позначають b-а.

6) .7). 8) дистриб. властивість множення відносно віднімання. Згідно озн. різниці . 9)ця властивість є вірною тільки для числових кілець.

Озн. Ненульові елементи а і b, для яких аb=0 наз. дільниками нуля, а-лівий, b-правий дільник.

Озн. Комутативне кільце без дільників нуля наз. областями цілісності.

10) Рівності можна скорочувати не на дільники нуля: , а-недільник о, . 11)

Озн. Непорожня підмножина К0 кільця К наз. підкільцем, якщо вона сама утв. кільце відносно операцій заданих в кільці К.

Теор. Підмножина є його підкільцем т. і т. т., коли вона задовільняє умови: ; ;.

Дов.:
Якщо К0 –підкільце К, то К0 задов. згідно озн., усім аксіомам кільця, внаслідок чого умови 1-3 виконуються, то в силу умов 1-2 утв. підгрупу адитивної групи кільця, внаслідок чого вона задовольняє усім аксіомам групи. Це означає,що задов. усім аксіомам кільця, отже -підкільце кільця К.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Kilce (86.0 KiB, Завантажень: 5)

завантаження...
WordPress: 22.78MB | MySQL:26 | 0,355sec