ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ЧАСТИННИХ СУМ РЯДУ ФУР’Є І IX СЕРЕДНІХ АРИФМЕТИЧНИХ

Нехай даний ряд Фур’є (11) з попереднього параграфу 2-періодичної функції , інтегровної на відрізку

Позначимо через
його частинні суми. Використовуючи формули (10) § 1 для коефіцієнтів Фур’є, знайдемо


 

 

Якщо позначити через


то


 

Звідси

 

                    (1)

 

 

Рівність (1) можна вважати правильною для всіх в тому числі і для точок , в яких перетворюється в нуль, якщо під значенням функції, яка стоїть у правій частині цієї рівності, в точках розуміти її границю в цих точках

За допомогою формули (1) суму
можна записати у вигляді,

 



 

Оскільки підінтегральна функція, розглядувана як функція від t, є 2-періодичною, то для будь-якого фіксованого х


В останньому інтегралі зробив заміну змінної інтегрування: . Тоді
запишемо у вигляді

            (2)

Ми дістали інтегральне зображення частинних сум ряду Фур’є. Інтеграл, що стоїть у правій частині рівності (2), називається інтегралом Діріхле.

Розбивши цей інтеграл на два інтеграли і зробивши в другому інтегралі заміну змінної інтегрування: , частинні суми ряду Фур’є матимуть вигляд

         (3)

Якщо для то


тому


З рівностей (2) і (3) дістанемо відповідно рівності

                    (4)

і

(5)

Середнє арифметичне перших n-частинних сум ряду Фур’є позначимо через


і знайдемо його інтегральне зображення. Використовуючи рівність (2) дістанемо


Якщо позначити через

        то


звідси

(6)

Рівність (6) можна вважати правильною для всіх u і в тому числі і для точок
, в яких перетворюється в нуль, якщо під значенням функції, що стоїть у правій частині цієї рівності, в точках розуміти її границю в цих точках.

За допомогою рівності (6)
можна записати у вигляді

                                (7)

Ми дістали інтегральне зображення середніх арифметичних частинних сум ряду Фур’є. Інтеграл, що стоїть у правій частині рівності (7), називається інтегралом Фейєра, а тригонометричний поліном — тригонометричним поліномом Фейєра.

Розбивши цей інтеграл на два: і зробивши в

першому інтегралі заміну змінної інтегрування:, дійдемо до наступного вираження для середніх арифметичних частинних сум ряду Фур’є:

        (8)

Якщо для x ,то, як було показано вище, (п = 0, 1, 2, …), тому

                        

З рівностей (7) і (8) дістанемо відповідно рівності

                            (9)

                        (10)    

які використовуватимемо в наступному параграфі.    

завантаження...
WordPress: 22.91MB | MySQL:26 | 0,486sec