ГРУПИ. ПРИКЛАДИ ГРУП. НАВПРОСТ. ВЛАСТИВОСТІ ГРУП. ПІДГРУПИ

Озн. Не порожня множ А , на якій задано бінарну операцію *, унарну операцію -1 наз. групою, якщо викон. такі властивості:

1) бінарна операція *- асоціативна;

2) е – правий нейтральний елемент відносно операції * в множ А;

3) для елемента правий симетричний елемент , що .

Приклади. Z з операцією +; множ парних чисел відносно операції +; множ, яка склад з одного нуля також утворює групу відносно операції +.

Властивості груп:

  1. правий симетричний елемент є одночасно і лівим елементом;
  2. правий нейтральний елемент є одночасно і лівим нейтральним елементом;
  3. нейтральний елемент єдиний;
  4. для симетричний елемент єдиний;
  5. для в групі кожне з р-нь а*х=b, y*a=b має єдиний розв’язок;
  6. властивість скорочення. дляз а*с=b*са=b, таке саме з с*а=с*b;
  7. для групи з рівності а*b=аb=с, таке саме з b*с=с;
  8. ;
  9. для групи з рівності а*b=с .

    Дов. 1) .

    2) ,.

    3) а*е=а

    Дов. 3). Припустимо, що – нейтральні елементи. Оскільки правий нейтральний елемент, то в силу 2) , тому можна записати =. Оскільки також нейтральний елемент, то він є лівим нейтральним елементом, тому . Отже, =, тобто =, що суперечить припущенню, тому нейтральний елемент єдиний.

    Дов. 9). З 3) – *. З другої сторони , тоді за 8) .

    Озн.Підгрупою групи наз під алгебра цієї групи (приклад): множ парних чисел з операцією + є під алгеброю адитивної алгебри Z.

    Озн.Відображу h групи <A, *, -1> в групу <B, *,-1> наз гомоморфізмом.

    Теор. Підгрупа групи є знову група. Нейтральний елемент групи є нейтральним елементом підгрупи.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Grupy (92.5 KiB, Завантажень: 5)

завантаження...
WordPress: 22.89MB | MySQL:26 | 0,319sec