ГРУПА РУХІВ ПЛОЩИНИ ТА ЇЇ ПІДГРУПИ. ЗАСТОСУВАННЯ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ПОБУДОВУ

О. Перетворення площини, при якому зберігається відстані наз. рухом площини.

Нехай в площ. задано трикутник і вказано напрямок обходу вершини цього трикутника (від А до С через В), тоді такий трикутник і така площ. наз. орієнтованими. Додатня орієнтація — це проти руху годинникової стрілки. Якщо рух переводить орієнтовану площ. в площ. з тією ж орієнтацією, то такий рух наз. рухом 1-го роду. Якщо ж орієнтація міняється на протилежну, то — рухом 2-го роду. Послідовне виконання двох рухів наз. композицією.

Вл. руху

1) Рух є взаємнооднозначна відповідність між точками площ.

2) До руху одиничний обернений

3) Послідовне виконання 2-х рухів знову рух І або ІІ роду

4) Рух переводить пряму в пряму, парал прямі в парал прямі

5) Рух переводить півплощини з межею в півплощини з межею , де — образ прямої при цьому русі

6) Рух зберігає просте відношення трьох точок прямої

7) Рух зберігшє поняття «лежати між»

8) Рух переводить промінь з початком в т. А в проммінь з початком в т. , яка є образом т. А при цьому русі

9) Рух переводить відрізок в відрізок , відповідно образи т. А і В

10) Рух переводить кут в кут, рівні кути в рівні.

11) Рух переводить прямі в прямі

Множина всіх рухів, що задовільняють вл. 1-11 утв. групу відносно відносно операції композиція.

О. Групою будемо наз. пару , де G — непорожня мн., якщо виконуються умови:

1) замкненість операції:

2) асоціативність операції композиція:

3) -ня нейтрального елемента:

4) -ня симетричного елемента:

О. Якщо і пара утв. групу, то групу наз. підгрупою групи G.

Доведемо,що множина всіх рухів площини утв. групу

1)

2)

Нейтральним елементом G буде рух, який переводить т. площини в себе.

Оскільки рух — це взаємнооднозначна відповіднвсть між точками площини, то завжди рух обернений до руху мн. . Отже, множина всіх рухів площини утв. групу.

Рухи 1-го роду: 1) перенесення, повороти. 2) осьова симетрія, ковзаюча симетрія.

Перетворення площини, яке кожну точку цієї площини переводить в т. цієї ж площини, таку, що вектор наперед заданому вектору наз. перенесення площини.

Поворот:

Нехай осі і двох осьових симетрій утв. кут. Нехай т. площини .

Якщо т. симетрична відносно осі , а симетрична з відносно , то , , т. отримано з т. в наслідок руху 1-го роду, який має вл.: , , де — менша з 2-х кутів, утв. і . Такий рух наз. поворотом на кути. Множина всіх поворотів пл. Відносно заданої т. утв. групу, яка є підгрупою групи всіх перетворень площини.

Осьова симетрія:

Будемо казати, що т. і симетричні відноснопрямої , якщо відрізок і ділиться нею пополам. Фігури і наз. симетричні відносно прямої , якщо відповідні точки цих фігур симетричні відносно прямої .

Перетворення площини буде рухом, який наз. ковзаючою симетрією, якщо вона представлена у вигляді послідовного виконання рухів.

Осьова симетрія

Приклад. На даній прямій побудуємо т. так, щоб ламана мала найменшу довжину, точки і лежать по один бік від даної прямої.

Нехай — дана пряма, має найменшу довжину. Нехай т. симетрична відносно з т. . Якщо , то — шукана. Дійсно: , . Дослідження: т. завжди , а завжди перетинає пряму в єдиній точці, то задача має і до того тільки один розв’язок.

Рухи можна застосовувати до розв задач на побудову. Припустимо, що задача розв., тобто шукана фігура побуд. До окремих частин фігури або до всієї шуканої фігури застос певне перетворення і цим сами розв даної задачі зводимо до розв деякої допоміжної задачі, яка як правило набагато простіша за вихідну. Розв’язавши цю задачу викон обернене перетворення і тим самим одерж розв даної задачі.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Grupa Ruhiv Ploschyny (230.5 KiB, Завантажень: 4)

завантаження...
WordPress: 22.9MB | MySQL:26 | 0,330sec