ГОМОМОРФІЗМ І ІЗОМОРФІЗМ ГРУП І КІЛЕЦЬ

Озн. Відображення f групи Г в групу наз. гомоморфізмом, якщо воно задов. умовам .

Озн. Групи наз. ізоморфними, якщо відображення , яке задов. умовам: 1)f бієктивне:-сюр’єктивне. .2)

Озн. Відображення f кільця К в наз. гомоморфізмом, якщо воно зберігає операції кілець, тобто: .

Озн. Якщо гомоморфне відображення є бієктивним, то його наз. ізоморфізмом. Всякий кільцевий гомоморфізм є гомоморфізмом адитивної групи К в адитивну групу . Тому він задов. власт. групових гомоморф. . 1)
2) 3) Якщо в К існує одиничний елемент і f є еліморфізмом кільця К в деяке , то в теж існує одиничний елемент :.

Дов.: Еліморфізм, це коли f є сюр’єктивним. Покажемо, що в роль одиничного елем. відігр. .Оск. f є сюр’єктивним, то ,

4) Якщо в К існує 1, в , є обл.. цілісності (не має дільників нуля), то .

Дов.:
.

5) Якщо відображення є гомо морф., то сукупність усіх елементів групи Г, які відображення f переводять в один елемент групи , наз. ядром гомоморфізму:

Озн. Сукупність усіх елементів наз. областю значень або образом гомоморфізму: .

Озн. Ядром гомоморфізму наз. множина Образом гомоморфізму f наз. множина .

Теор. Якщо кільце ізоморфне множині , то структура утв. теж кільце.

Теор. Якщо група ізоморфна алгебраїчній структурі , то теж утв. групу.

Дов.: Перевірим виконання трьох аксіом груп для : 1) , f –сюр’єк. .

2) В Г існує нейтральний елемент n: покажемо, що f(n)- нейтральний в : . .

3) – симетричний елемент.

Нехай – симетричний до а. Покажемо, що симетричне до :


і

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Gomomorf I Izomorf (146.0 KiB, Завантажень: 4)

завантаження...
WordPress: 22.87MB | MySQL:26 | 0,586sec