Геометричний зміст і означення визначеного інтеграла. Приклади Задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла

Урок 7

Тема. Геометричний зміст і означення визначеного інтеграла. Приклади

Задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

Мета. Познайомити учнів з задачами, які приводять до поняття інтеграла;

задача про площу криволінійної трапеції; формування поняття про

інтеграл; розвивати спостережливість, логічне мислення, пам’ять;

виховувати взаємоповагу, прагнення до знань.

Тип уроку. Урок вивчення нового матеріалу.

Обладнання: таблиці.

Методи і прийоми навчання:метод «Наведи порядок», «Мозкова атака»,»Перевір себе».

Девіз уроку: Хіба ти не помітив, що здібний до математики має успіх в усіх науках про природу?

(Платон)

Хід уроку

І. Організаційна частина.

Вправа «Смайлик».

 

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Метод «Наведи порядок». Вчитель роздає картки, на яких записані приклади домашнього завдання, але з пропусками. Учні мають заповнити пропуски.

Наприклад, f(x) =

F(x) = (4x+7 =… (4x+7= (4x+…+C.

 

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Інтелектуальна розминка «Мозкова атака»

Навести декілька вправ усного характеру по темі «Правила знаходження первісних».

 

ІV. Мотивація навчальної діяльності.

 


Пам’ятка для учнів

  1. Будь уважним.
  2. Активно пізнавай та аналізуй нове.
  3. Будь наполегливим і не бійся помилятись.

 

V. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу.

1. Сприймання та усвідомлення матеріалу про криволінійну трапецію та її площу.

У математиці розроблено методи, що дозволяють обчислювати площі фігур, межа яких складається з кривих ліній.

Тепер, використовуючи знання про первісну функцію, ми навчимося знаходити площі фігур, які називаються криволінійними трапеціями.


Криволінійною трапецією називається фігура
, обмежена графіком неперервної функції у=f(x), яка не змінює знак на відрізку [а;b], прямими х=а, х=b і відрізком [а;b]


y

 

y = f(x)

 

0 а b x


у

y=f(x)

 

 

 

x

0 х0=а х1 х2 х3 хn-2 xn-1 b=xn

 

Нехай треба обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної функції у = f(x) , яка приймає додатні значення, з боків відрізками прямих х=а, х=b, знизу відрізком [а;b], який лежить на осі ОХ.

Розібємо відрізок [а;b] на n рівних частин і позначимо абсциси точок поділу через х1, х2…, хn-1, a = x0, b=xn: а=х012<…< хn-1< xn = b.

На кожному із цих відрізків побудуємо прямокутники. Висота прямокутника, побудованого на відрізку [х01], дорівнює у0 = f(x0); висота прямокутника, побудованогона відрізку [х12], дорівнює у1 = f(x1) і т. д.; висота прямокутника, побудованого на відрізку [хn-1; xn] дорівнює f(хn-1).

Довжина основи кожного прямокутника дорівнює Слід зазначити, що х1 – х0 = х2 – х1 = х3 – х2 = …хn – хn-1 = .

Обєднання всіх n прямокутників є східчаста фігура. Позначимо її площу через Sn, тоді

Sn = f(x0) + f(x1) + f(x2)+ …+ f(хn-1) = (f(x0) + f(x1)+…+ f(хn-1).

Якщо n , то і, оскільки функція у = f(x) неперервна, то східчаста фігура буде все менше відрізнятись від криволінійної трапеції. А тому площа S криволінійної трапеції буде все менше відрізнятись від Sn, тобто Sn
S. При досить великих n ця наближена рівність справджується з будь-якою точністю. Природно вважати, що Sn при цьому буде наближатись до числа, яке й приймемо за значення площі криволінійної трапеції.

Отже, S = .

 

Приклад. Обчисліть площу трапеції, обмеженої лініями у = 2х, у = 0, х = 1, х = 2.

 


у С у=2х

4

 

В

2

 

А D

 

0 1 2 х

 

Розв’язання

Площу цієї трапеції можна обчислити за відомою формулою із курсу геометрії S =

 

2. Сприймання й усвідомлення задачі про знаходження шляху, пройденого тілом.

Математика вивчає різні зв’язки між величинами. Важливі приклади таких зв’язків дає механічний рух. Ми вже багато звертались до прикладу руху матеріальної точки по осі. Між положенням х(t) (координатою) точки і її швидкістю v(t) існує зв’язок: v(t) = х(t).

Почнемо із задачі про механічний рух. Нехай точка рухається з постійною швидкістю v=v0. Графіком швидкості в системі координат (t;v) буде пряма v=v0, паралельна осі часу t. Якщо вважати, що початковий момент часу t=0 точка знаходилась в початку координат, то шлях її s, пройдений за час t обчислюється за формулою s=v0t. Величина v0t являє собою площу прямокутника, обмеженого графіком швидкості, віссю t і двома вертикальними прямими, тобто шлях точки можна обчислити як площу криволінійної трапеції. Звернемося до випадку нерівномірного руху. Тепер швидкість можна вважати постійною тільки на маленькому проміжку часу.

v     V

v=v(t)

v0    

    V0


0 t t     0 T t

Розіб’ємо проміжки часу [0;T] на n рівних частин t =

0 = t0
t1

t2


tn-1

tn=T,

t1-t0=t2-t1=…tn-tn-1=t.

Шлях пройдений тілом за проміжок часу [tk;tk+t], де k=0, 1, …, n-1 приблизно дорівнює добутку v(tk)* t, а шлях, пройдений тілом за проміжок часу [0;T], приблизно дорівнює

Sn = v(t0) * t + v(t1)* t + …+ v(tn-1)* t = (v(t0)+ v(t1) +…+ v(tn-1)) * t.

Якщо n то t0, і тоді шлях, пройдений тілом за проміжок часу [0;T] який позначимо через S, дорівнює .

Отже, S = .

 

3.Сприйймання і усвідомлення поняття інтеграла.

Розглянемо неперервну функцію у = f(x), невід’ємну на відрізку [а;b].


у

y=f(x)

 

0 х0=а х1 х2 х3 хn-2 xn-1 b=xn

 

Розіб’ємо відрізок [а;b] на n рівних частин а = х012<…< хn-1< xn = b, довжина кожної частини дорівнює

Утворемо суму Sn добутків f(xi) *і = 0; 1; …; n – 1, яка називається інтегральною сумою:

Sn = f(x0) + f(x1) + f(x2)+ …+ f(хn-1)

Знайдемо S = .

За означенням цю границю називають інтегралом функції у = f(x) від а до b і позначають (читають так: «інтеграл від а до b еф від х де ікс»)

У позначенні інтеграла все вказує на спосіб його утворення. Знак інтеграла нагадує видовжену латинську букву – першу букву слова summa (сума). Підінтегральний вираз нагадує вигляд кожного окремого доданка f(xi) * інтегральної суми. Множник в математиці називають диференціалом. Число а називається нижньою межею інтегрування, а число b – верхньою межею інтегрування. Таким чином, = .

, якщо f(x) 0 для всіх х [а;b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями: у = f(x), х=а, х=b, у=0.

  1. Виконання вправ.

1. Побудуйте схематично фігури, площі яких виражаються такими інтегралами:

а) ; b) в) ; г).

2. Виконання вправи 26.1. Колективна форма роботи.

 

 

VІ. Підсумок уроку.

Метод «Перевір себе».

 

VІІ. Домашнє завдання.

Опрацювати § 26, ст. 254-257.

Виконати вправи: № 26.2, №26.4 – всі рівні.



ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 7 (34.3 KiB, Завантажень: 94)

завантаження...
WordPress: 22.94MB | MySQL:26 | 0,630sec