ГЕОМЕТРИЧНА АЛГЕБРА ТА ПЕРШІ НЕРОЗВ’ЯЗНІ ЗАДАЧІ

Стародавні греки стали вживати геометричні відношення. Грецькі математики стали будувати математику не на основі додатних раціональних чисел, а на основі геометрії, визначивши для геометричних величин усі арифметичні операції. В результаті було побудовано геометричну алгебру, яка відповідала поки що стандартам строгості та загальності. Інструментами для побудови були лише циркуль і лінійка. Спочатку це уможливило обґрунтування деяких правил алгебри, знаходження методів розв’язування певних задач, але потім це стало перешкодою в розвитку математики, оскільки з’ясувалося, що не геометризація, а алгебраїзація є її перспективним шляхом розвитку. Об’єктами геометричної алгебри є відрізки, прямокутники та паралелепіпеди. Додавання відрізків здійснювалось їх послідовним прикладанням, віднімання – вилученням з більшого відрізка частини, рівної відрізку-від’ємнику. Відрізок ототожнювався з числом. Добутком двох відрізків вважався побудований на них прямокутник, трьох відрізків – побудований на них паралелепіпед. Більшої розмірності добутки неможливі.

Дія ділення виконувалась складніше. В геометричній алгебрі строго дотримувалися принципу однорідності: в обох частинах рівності мусили бути величини однієї розмірності (відрізки, площі або об’єми), додавати також можна було лише величини однієї розмірності. Ділити можна було лише величини вищої розмірності на величини нижчої розмірності: об’єми – на плоті, або відрізки, площі – лише на відрізки.

Дія ділення розв’язувалась за допомогою геометричної побудови, яка називалася “прикладання площі до відрізка” (рис. 6). На продовженні відрізка а розміщуємо (“прикладаємо”) площу bс. Потім проводимо ML || аА, МА || LC . У прямокутнику АМКВ проводимо діагональ MB до перетину з продовженням сторони LC. Тоді відрізок х = CD буде розв’язком рівняння ах=bс, що випливає з рівності прямокутників PABQ і KBCL, Замість рівняння ах=bс можна розглядати рівняння ах=bc, оскільки греки вміли будувати квадрат, рівновеликий даному прямокутнику.

Основи геометричної алгебри були закладені та розвинуті піфагорійцями, для яких мало значення точне знання, а не допустиме приблизне значення. Іншої думки дотримувались математики Сходу: для них кожний відрізок, площа, об’єм були просто числами, які можна знаходити або точно, або наближено. Це була практична точка зору, яку сповідували в усі часи інженери, землеміри, природодослідники.

Найвідомішими нерозв’язуваними задачами були такі задачі: 1) квадратура круга — побудувати квадрат, який рівновеликий даному кругу; 2) подвоєння куба — побудувати куб, об’єм якого вдвічі більший за об’єм даного куба; 3) трисекція кута — розділити довільний кут на три рівні частини. Ці задачі, не маючи принципового практичного значення, по-своєму стимулювали дальший розвиток математики не тільки в стародавні часи, а й у новітній період.

завантаження...
WordPress: 22.86MB | MySQL:26 | 0,367sec