Геометрія Лобачевского

Лобачевский восновному бере за початковий пункт все те, що Евклід довів без допомоги 5-го постулата. Всі ці предположения є загальними як для геометрії Евкліда, так і для геометрії Лобачевского.

Таким чином, всі предложения абсолютної геометрії зберігають свою силу і в геометрії Лобачевского. Абсолютна геометрія є загальна частина і загальний фундамент евклідової геометрії і геометрії Лобачевского.

В першому випадку маємо геометрію Евкліда, в другому – Геометрію Лобачевского. Звідси ясно, що все схоже в геометріях Евкліда и Лобачевского має свої основания в абсолютній Геометрії, а все те, що різне в них, корениться в різних аксіомах паралельності.

Першим пунктом геометрії Лобачевского є прийняття всіх пропозицій геометрії Евкліда, які не залежать від 5-го постулату (тобто абсолютній геометрії, включаючи аксіоми Паша, Архімеда, Дедекінда), і присоединение до ним на заміну відкинутого 5-го постулату слідуюча аксіома, противоположный аксіомі Плейфера, а значить, и 5-му постулату. .

Через точку, яка лежить поза прямої площини, яку вони визначають ,можливо провести не менше 2-х прямих, які не перетинаються з даною прямою.

Площина (чи простір), в якому виконуються аксіоми Лобачевского, називаються площиною (чи простором) Лобачевского.

Перейдемо до паралельних Лобачевского: дві граничні прямі СС’ і DD’ називаються паралельними прямій ВВ’ в точці А, причому пряма С’С називається паралельна В’В в напрямі В’В, а пряма D’D називається паралельна прямій ВВ’ в направленні ВВ’. Гострий кут a , утворений паралельними з перпендикуляром АР, називається кутом паралельності в точці А відносно прямої BB’. Цей кут, є функція довжини р перпендикуляра АР і позначається: a=П (р). АР називаються відрізком паралельності в точці А відносно прямої BB’.

Всі прямі пучка не які не перетинають BB’ і лежать всередині заштрихованих вертикальних кутів, називаються расходящимися (що роходяться) з BB’ чи зверх паралельними до BB’; кут, утворений такою прямою з перпендикуляром АР з обох від нього сторін, більше кута паралельності a. Всі останні прямі пучка, які утворюють з АР з деякої сторони гострий кут, меньше кута паралельності a, називаються (перетинаючими) пересекающими пряму BB’ чи збіжними з BB’ .

Необхідно звернути увагу, що геометрія Лобачевского при вказанні, то пряма СС’ паралельно прямій BB’, являється совершенно обов’язковим також вказувати, по-перше, в якому напрямку CC’ паралельно BB’, по-друге, в якій точці.

Означення.
Пряма С’C наз. паралельною прямою в напрямку B’B в точці А, якщо , по-перше, пряма С’C не перетинається з прямою BB’, по-друге, C’C являється граничною в пучці прямих с центром в точці А, тобто всякий промінь АЕ, який проходить всередині кута CAD, де D-люба точка прямої BB’, перетинає промінь DB.

(Деякі теореми)

Теорема1.Якщо пряма ВВ’êêАА’ в точці М, то ВВ’êêАА’ в любій своїй точці N.

Теорема2.
Якщо ВВ’êêАА’, то і навпаки: АА’êêВВ’.

Теорема3. Якщо АА’êêСС’ и ВВ’êêСС’, то АА’êêВВ’.

завантаження...
WordPress: 22.84MB | MySQL:26 | 0,478sec