Формула Нютона-Лейбніца

Урок 8

Тема. Формула Нютона-Лейбніца.

Мета. Вивчити формулу Нютона-Лейбніца і основні властивості інтеграла,

які випливають із властивості первісної і формули Нютона-Лейбніца;

повторити геометричний зміст означеного інтеграла; розвивати

математичне мислення учнів, пам’ять, розв’язувати вправи на

засвоєння формули Нютона-Лейбніца.

Тип уроку. Урок пояснення нового матеріалу.

Обладнання. таблиця первісних, дидактичний матеріал.

Методи і прийоми навчання: метод незакінченого речення, метод «Адвокати», математична естафета.

Хід уроку.

 

І. Організаційний момент.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити наявність домашнього завдання в зошитах учнів, вияснити чи всі зрозуміли теоретичний матеріал.

На дошці записані вправи, подібні до тих що треба було розв’язати вдома. Три учні йдуть розв’язувати, вчитель обирає експерта, який буде перевіряти. За партами учні теж розв’язують подібну задачу. Вчитель лише спостерігає за розв’язанням. Тим учням у яких виникли труднощі, пояснити матеріал ще раз і запропонувати додаткові задачі.

 

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Метод незакінченого речення.

  1. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) якщо …
  2. Неозначеним інтегралом називають…


  3. Криволінійною трапецією називається фігура…
  4. Означеним інтегралом є …
  5. Площа криволінійної трапеції це…




  6. =…

 

ІV. Мотивація навчальної діяльності, сприймання і усвідомлення теореми про площу криволінійної трапеції.

1.Вияснимо, як можна обчислити площу S криволінійної трапеції за допомогою первісної функції у = f(x).

Позначимо S(x) площу криволінійної трапеції з основою [а; х], де х – будь-яка точка відрізку [а; b]. При х = а відрізок [а; х] перетворюється в точку і тому S(а) = 0; при х = b маємо S(b) = S – площу криволінійної трапеції.


Y y=f(x)



 

0 a x b x

Доведемо що S(х) є первісною функції f(x), тобто S'(х) = f(x).

Розглянемо різницю S(x + x) – S(x), x 0 (випадок x 0 розглядається аналогічно). Ця різниця дорівнює площі криволінійної трапеції з основою

[х; х + x]


у у=f(x)

 

 

 

0 а х x + x b х

Якщо x мале число, то площа приблизно дорівнює f(x) * x, тобто

S(x + x) – S(x) f(x) * x.

Таким чином, f(x). Якщо 0, то ліва частина наближеної рівності за означенням похідної наближається до S'(х) тому


Це і означає, що S(х) є первісною функції f(x).

Будя-яка первісна F(x) відрізняється від S(x) на стале число, тобто

F(x) = S(x) + С.

Із цієї рівності при х=а одержуємо F(а) = S(а) + С. Оскільки S(а)=0, то С=F(b) і рівність (1) можна записати так:

S(x) = F(x) – F(а).

Звідси при х=b одержуємо:

S(b) = F(b) – F(a),

S = F(b) – F(a).

Отже, площу криволінійної трапеції можна обчислити за формулою S = F(b) – F(a), де F(x) – будь-яка первісна функції f(x).

 

Приклад 1.

Побудуйте криволінійну трапецію, обмежену лініями f(x) = x2, x = 1, x = 2, y=0. Обчисліть її площу.

Розв’язання.

Криволінійна трапеція зображена на рисунку.

 


у у=х2


4



1

0 1 2 х

Однією з первісних для функції f(x) = x2 є F(x) = .

Отже, S = F(2) – F(1) =

Відповідь:

Приклад 2.

Побудуйте криволінійну трапецію, обмежену лініями y=cos x, y=0, x=- , x=.

Розв’язання

Криволінійну трапецію зображено на рисунку.

у

     у=cos x    

 

 

x

 

Одна із первісних функції у = cos x є F(x) = sin x, тоді S = F.

Відповідь: 2.

2. Сприймання і усвідомлення формули Ньютона-Лейбніца.

Порівнюючи формули площі криволінійної трапеції

S =

Робимо висновок: якщо F(x) – первісна для функції f(x) на відрізку [а; b], то



 

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца. Вона правильна для будь-якої неперервної на відрізку [а; b] функції f(x), пов’язує поняття інтеграла й первісної для даної функції, є правилом обчислення інтегралів.

Для зручності запис різниці прийнято скорочено позначати

F(x). При такому позначенні формула Ньютона-Лейбніца набирає вигляду:




Приклад 1.

Обчисліть .

Розв’язання

Оскільки для х2однією із первісних є , то

Відповідь: 3.

 

Приклад 2.

Обчисліть .

Розв’язання

=

Відповідь:

V. Робота з підручником.

Метод «Адвокат». Учні читають §26, готують запитання один одному з даної теми.

 

VІ.Розв’язування вправ на закріплення матеріалу.

№26.5 – колективна форма роботи. Учні розв’язують біля дошки, вчитель допомагає, задає запитання, що сприяють кращому засвоєнню нового матеріалу.

 

Математична естафета:

На дошці записане завдання. Проаналізувати кроки розв’язання. Кожен учень записує по одному крокові і «передає естафету» іншому.

 

 

 

 

 

 

 

 

VІІ. Підсумок уроку.

Учні отримують картки самоконтролю приблизно такого змісту:


  1. Що тобі сподобалось на уроці?
  2. Що ти хотів би змінити під час уроку?
  3. Чи зрозумів ти пояснення нового матеріалу?
  4. Знайти площу криволінійної трапеції, зображеної на рисунку.

 

 

 

у=sin x



х


0

 

VІІІ. Домашнє завдання.

Вивчити §26.

Виконати вправи: № 26.6(1-3) – І, ІІ рівні

№ 26.6 (3-6), 26.7 – ІІІ, ІV рівні.

Підготувати цікаву інформацію про І. Ньютона та Г. Лейбніца.


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 8 (32.6 KiB, Завантажень: 80)

завантаження...
WordPress: 22.93MB | MySQL:26 | 0,436sec