Ф-ЛА І РЯД ТЕЙЛОРА. БІНОМІАЛЬНИЙ РЯД

Нехай функція неперервна на і диференційовна на . Тоді на функція задовільняє всім умовам т. Лангранжа, згідно з якою , що залежить від вибору т.: . Узагальненням цієї формули є формула Тейлора.

Теор. Нечай функція має на похідні до n-го порядку включно і нехай на має похідну го порядку, p-довільне додатне число. Тоді що має місце формула:



Многочлен -називається многочленом Тейлора.

-називається залишковим членом у формулі Тейлора у формі Шльомиха і Рошша.

Насл. Нечай функція задовільняє усім умовам попередньої теореми. Тоді що


-залишковий член у формі Лагранжа.

Насл.


– залишковий член у формі Коші.

Озн. Нехай функція задана в деякому околі т. і нехай в т. ця функція є нескінчено разів диференційованою. Тоді степеневий ряд виду називається рядом Тейлора функції .

Озн. Кажуть, що функція розкладається в степеневий ряд на якщо вона є сумою цього ряду на цьому інтервалі, тобто якщо

Теор. Для того, щоб ф-я , що має в інтервалі похідні всіх порядків розвивалась в свій ряд Тейлора щоб залишковий член в ф-лі Тейлора (Лагранжа або Коші) на збігався до нуля.

Біноміальний ряд

Розкладемо в ряд Макларена степеневу функцію . Для ця функція визначена для тому найбільшим інтервалом в якому можна розкласти її в ряд Маклорена буде







……………………………………………………………



(1)

Покажимо, що розглядувана функція розкладається в степеневий ряд (1) на . Для цього покажимо, що загальний член


.(2)

Розглянемо ряд . Дослідимо його на збіжність за ознакою Даламбера.


За ознакою Даламбера розглядуваний ряд буде абсолютно збіжним а отже загальний член .

(3)

Маємо, що -1<x<1, ,
послідовність є обмежиною. Маємо крім того що , , , (, і (, -послідовність, що є обмежиною. Таким чином в (2) маємо добуток нескінчено малої послідовності на обмежені послідовності, що означає що є н.м.п.


Згідно з критерієм розкладу функції в степеневий ряд робимо висновок, що функція розкладається в степеневий ряд і має місце рівність:


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Ryad Tejlora (948.0 KiB, Завантажень: 2)

завантаження...
WordPress: 22.86MB | MySQL:26 | 0,567sec