Еврика (математична гра для старшокласників)

Головною тезою сучасної освіти е те, що школа має го­тувати до життя. Саме тому найважливішим е розвиток логічного мислення, уміння швидко знаходити відповідь на поставлене запитання, а для цього слід розв’язува­ти цікаві задачі, давати відповіді на запитання у вигля­ді гри, намагаючись викликати зацікавленість учнів ма­тематикою.

Умови гри:

•  Після проведення жеребкування учень одер­жує заохочувальний 1 бал і право першому обирати теми. Йому пропонують 10 запитань. Дає відповіді до першої неправильної.

•  Хто з учасників дасть правильну відповідь на запитання, запропоноване попередньому учасникові, той має право обирати тему лише з решти запропонованих.

•  Після теми буде лідер, який першим відпо­відатиме, за ним той, хто має більше балів. Кожне завдання оцінюється 1 балом. Завдан­ня практикуму «За і проти» оцінюються найвищим балом — 5, позаяк там можуть бути оригінальні відповіді.

•  Після туру «Підказка» залишається два учас­ники гри.

•  Гра проходить за таким планом:

1. Жеребкування.

2. Тема.

3. Практикум.

4. Завдання «За і проти».

5. Підказка.

6. Дуель.

Переходимо до знайомства з гравцями. Стис­ло розповісти про себе в цікавій формі, зазначити, чим захоплюєтеся.


І. Жеребкування

Котрого року народився Погорєлов Олексій Ва­сильович?

(03.03.1919.)

Якщо відповідь неправильна, то вважатимемо правильною ту, яка ближча до правильної.

Олексій Васильович Погорєлов народився 3 бе­резня 1919 року в місті Короча, що на Бєлгородщині (Росія). Невдовзі, коли розпочалося будівництво

Харківського тракторного заводу, разом з батьком Василем Стефановичем переїхав до Харкова.

1937 року він став переможцем міської мате­матичної олімпіади, яку проводив Харківський університет, і став тоді ж його студентом. Кан­дидатську дисертацію О.В.Погорєлов захистив 1947 року. 1948 року він захищає докторську дис­ертацію.

Зусилля академіка Погорєлова у створенні під­ручника з геометрії для масової школи були висо­ко оцінені науково-педагогічною громадськістю України й колишнього Радянського Союзу. Мініс­терство освіти України нагородило його медаллю ім. Макаренка. Наприкінці 1998 року Міністерство освіти України удостоїло звання «Відмінник народ­ної освіти України».

У вересні 1999 року минуло рівно 20 років від початку запровадження підручника з геометрії О.В.Погорєлова в середню школу.

Отже першим тему обиратиме…

Сьогодні теми такі:

•  арифметика;

•  математика;

•  планіметрія;

•  стереометрія.

II. Тема

Арифметика

1. Які числа називаються натуральними? (Натуральні — це числа, що використовують­ся при лічбі.)

2. Сформулюйте ознаку подільності на 2.

(На два діляться числа, які закінчуються пар­ною цифрою.)

3. Сформулюйте ознаку подільності на 3.

(На три діляться числа, сума цифр яких ділить­ся на три.)

4. Сформулюйте ознаку подільності на 5.

(На п’ять діляться числа, які закінчуються на 5 або 0.)

5. Сформулюйте ознаку подільності на 9.

(На 9 діляться числа, сума цифр яких ділиться на 9.)

6. Назвіть класи натуральних чисел. Побільше.  (І клас — одиниць. // клас — тисяч. Ill клас — мільйонів. IV клас — мільярдів. V клас — трильйо­нів. VI клас — квадрильйонів.)

7. Назвіть закони множення двома способами. (Переставний (комутативний); сполучний (асо­ціативний); розподільний (дистрибутивний).)

8. Як називаються числа при діленні? (Ділене, дільник, частка.)

9. Які числа діляться на 4?

(На 4 діляться ті числа, у яких дві останні циф­ри виражають число, що ділиться на 4.)

10. Які числа діляться на 7?

(На 7 діляться ті і лише ті числа, у яких різниця ніж числом, вираженим трьома останніми цифра­ми, і числом, вираженим рештою цифр (або навпа­ки), ділиться відповідно на сім.)

Математика

1. Які числа називаються цілими? (Натуральні, протилежні їм та число 0 назива­ються цілими.)

2. Що таке модуль?

Відстань від точки до початку відліку по коор­динатній прямій.)                  3. Які є види діаграм? (Кругова, стовпчаста, лінійна.)

4. Що використовують математик і мисливець? (Дріб.)

5. Що таке процент?

(Соту частину числа називають процентом.)

6. Як поділити десятковий дріб на 0,1; 0,01 ? (Потрібно в цьому дробові перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів містить розрядна одиниця.)

1. Як швидко двоцифрове число 23 помножи­ти на 11?

(Розсунути цифри 2 і 3 і всередину вставити суму чисел 2 і 3 (253).)

8. Що таке скорочення дробів?

(Ділення чисельника і знаменника на одне й те саме натуральне число.)

9. Що таке пропорція? (Рівність двох відношень.)

10. Як додати два числа з різними знаками?

(Потрібно від числа з більшим модулем відняти число з меншим модулем і перед результатом по­ставити знак того числа, модуль якого більший.)

Планіметрія

1. Що називається трикутником? (Геометрична фігура, яка складається із трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох від­різків, що їх з’єднують.)

2. Скільки градусів має розгорнутий кут? (180′)

3. Скільки є ознак рівності трикутника? (Три.)

4. Сформулюйте ознаки рівності прямокутних трикутників.

(За двома катетами; за катетом і гострим ку­том; за гіпотенузою і катетом.)

5. Що називається синусом гострого кута? (Називається відношення протилежного кате­та до гіпотенузи.)

6. Як знайти площу правильного трикутника?

7. За якою формулою знаходять довжину кола? (C = 2R,C = d.)

8. Що таке сектор?

(Частина круга, що міститься між двома раді­усами.)

9. Що таке хорда?

(Відрізок, що з’єднує будь-які дві точки кола.)

10.  Як називаються сторони у прямокутному трикутнику?

(Катет, катет, гіпотенуза.)

Стереометрія

1. Скільки є аксіом стереометрії? (Три.)

2. Які прямі називаються мимобіжними? (Прямі, які не перетинаються і не лежать в од­ній площині, називаються мимобіжними.)

3. Які площини називаються паралельними? (Якщо дві прямі, які перетинаються і лежать в одній площині, паралельні двом прямим, що пере­тинаються, другої площини, то ці площини пара­лельні.)

4. За якою формулою шукають об’єм куба?

(V=a3)

5. Що називається основою похилої? (Кінець відрізка, що лежить у площині, назива­ється основою похилої.)

6. Сформулюйте теорему про три перпендику­ляри.

(Якщо пряма, проведена на площині через осно­ву похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.)

7. Назвіть основні поняття стереометрії.

(Точка. Пряма. Площина.)

8. Сформулюйте першу аксіому стереометрії. (С 1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не нале­жать їй.)

9. Коли пряма належить площині?

(Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.)

10. Яку теорему (ознаку) використовують на бу­дівництві, щоб змурувати стіну? Пояснити.

(Ознаку перпендикулярності площин. Якщо провести площину через пряму, яка перпендику­лярна до другої площини, то ці площини перпен­дикулярні.)

Канікули

1. Народився він у місті Фонтенеме-Конт провін­ції Пуату. Закінчив юридичний факультет. Його ці­кавили природничі науки, насамперед астрономія.

Він починає вдосконалювати птоломеєву систему світу. Для цього треба було досконало знати мате­матику. Написав книжку «Математичний канон». Потім він замкнувся у своїй садибі, віддавшись ма­тематиці. Він міг три доби не відходити від письмо­вого столу.

Одного разу треба було розв’язати рівняння 45-го степеня. Ледве прочитавши умову, він напи­сав один розв’язок, а другого дня прислав ще 22. Це принесло йому світове визнання. (Франсуа Вієт (1540—1603).)

2.  Виняткові здібності хлопчика виявилися дуже рано. Події, що відбувалися в країні, де він народився, не давали можливості працювати, то­му вія у зрілому віці залишив країну, хоча уряд призначив йому за наукові відкриття значну пен­сію.

Він жив у Голландії, потім переїхав до Швеції, де й помер. Його світогляд був дуалістичний, тоб­то двоїстий. Він визнавав існування матерії й ду­ху. Йому належать відкриття і у фізиці. Найкраща форма лінз для виправлення сферичної аберації — гіперболічна.

8 математичних понять пов’язані з ім’ям цього вченого. Але одного з них достатньо, щоб його ім’я лишилося серед найвидатніших творців математи­ки. (Рене Декорт (1596—1650).)

3. Серед геніїв XVII ст. він як недосяжна верши­на. Його ім’я відоме кожній людині, звісно, освіче­ній. Він народився в селі Вулсторт — 200 км на пів­ніч від Лондона і 75 км на північ від Кембріджа. Йо­го ім’я часто пов’язане з ім’ям Лейбніца. Він роз­клав підінтегральну функцію в степеневі ряди. (Ісаак Ньютон (1643—1727).)

4. Він один із семи великих мудреців, «батько грецької науки». Він народився і жив в іонському місті Мілеті на малоазійському узбережжі. Він до­вів теореми:

• Вертикальні кути рівні.

•  Діаметр ділить круг пополам.

•  Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

(Фалес Мілетський.)

Дуель

1. Назвіть види ірраціональних чисел.

(0,2030030003.)

2. Які числа називаються раціональними?

(Які можна записати дробом m/n, де m  Z, n N.)

3.  12 = 1, 52 = 25, а чому дорівнює кут у ква­драті?

(90о)

4. Чому дорівнює куб суми двох виразів?

((а + b)3 = а3 + 3а2b + Заb2 + b3)

5.  Що потрібно поставити між цифрами 2 і 5, щоб число було більше за 2 і менше за З?

(Кому.)

6. Додайте 1 + 2 + З -І- … + 98 + 99 + 100. Як це можна зробити ?

((1 + 100) • 50 = 5050. (Метод Гаусса.))

(1 + 99) + (2 + 98) + … + 100 = 5050. (Інший.)

7. У Юркової мами троє синів. Одного вона на­зиває Андрієм, другого — Борисом. Як звали тре­тього?

(Юрко.)

8. Три натуральні числа додали, а потім їх пе­ремножили. Дістали одне й те саме число. Які це числа?

(1 + 2 + 3 = 6.

1-2-3 = 6. Числа1,2,3)

9. Якщо D < 0, то рівняння… (Не має коренів.)

10. cos 45o = …

 

III. Практикум

Виходить одна учениця. На ній гарне намисто. Вона його всім демонструє. Може зняти, показати. Це зараз писк моди. Пояснити, де його використо­вували раніше і як.

Землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута використовували такий спосіб: моту­зок ділили вузлами на 12 рівних частин і кінці зв’я­зували. Потім мотузок розтягували на землі так, щоб утворився трикутник зі сторонами 3,4 і 5 поді­лок. Кут трикутника, протилежний до сторони, яка має п’ять поділок, був прямий (З2 + 42 = 52). Цей трикутник називається єгипетським.

Для виготовлення намиста беремо мереживо. Ділимо на 12 рівних частинок. У місцях поділу при­шиваємо гарні кольорові ґудзики.

IV. Завдання «За і проти»

Для чого потрібно вивчати математику? За і проти.

Відповідь свою аргументувати. Першим відпо­відає той, хто має більшу кількість балів. За ним відповідає наступний. Його аргументація проти­лежна. Потім відповідають інші. Для обдумуван­ня — 1 хвилина.

V. Підказка

Вам покажуть по десять картинок. Потрібно правильно пояснити члену журі, щоб він відга­дав. Пояснювати зрозуміло, не називаючи те, що зображено.

Використана література

1. Бевз Г.П. Довідник з математики. — К.: Рад. шко­ла, 1981.

2. Гадай Г.І., Гриневич ГД. Учням про видатних мате­матиків. — К.: Рад. школа, 1976.

3. Погорєлов О.В. Геометрія. 7—9 кл. — К.: Рад. школа, 1991.

4. Про математику й математиків / Упорядн. А.С.Зоря, С.М.Кіро. — К.: Рад. школа, 1981.

 

Арифметична і геометрична прогресії

Урок-ділова гра

Мета. Узагальнення знань учнів з даної теми. Роз­вивати уміння застосовувати здобуті знання на прак­тиці. Показати учням практичне застосування знань про прогресії. Виховувати інтерес до предмету.

Тип уроку. Урок узагальнення знань з теми «Про­гресії».

Організаційна робота.

Клас ділиться на 4 групи.

1.  Історики повідомляють історичні відомості, цікаві

факти з даної теми з елементами імпровізації.

2.  Теоретики дають обґрунтування даним фактам з наукової точки зору, виводять формули.

3.  Практики показують застосування формул в практичних задачах.

4.   Експерти вивчають помилки, допущенні під час роботи, дають рекомендації з їх усунення, роблять висновки.

Хід  уроку

1.  Організація класу.

2.  Вступне слово вчителя.

Ми живемо в третьому тисячолітті, але досягнен­ня науки і техніки дають нам можливість з допомо­гою машини часу повернутись в друге тисячоліття до нової ери. Вже в папірусі, який складений близько 2000 років до н. е., знаходимо задачу про нагород­ження винахідника шахів (цю легенду ми розгляда­ли на уроці). Наші історики знайшли відомості, що цей папірус переписаний з папіруса, який належав третьому тисячоліттю до н. е. Надаємо слово нашим історикам, які довго вивчали стародавні папіруси і принесли нам нові факти до теми «Прогресії», яку ми щойно вивчили.

Слово «Історику», який розповідає легенду про нагороду полководця Терентія («Жива математика», Перельман).


Легенда в ролях  «Вигідна угода»

Зустрічаються мільйонер і незнайомець.

Незнайомець. Бачу, ти багатий чоловік. Давай ук­ладемо з тобою таку угоду. Я буду цілий місяць щод­ня тобі приносити по 100000 карбованців. Не за да­ром, звичайно, але плата невелика. У перший день ти заплатиш 1 копійку.

Мільйонер. Що ти говориш, я вухам не вірю. Од­ну копійку?

Незнайомець. Одну копійку. Другого дня ти за­платиш мені 2 копійки, третього — 4 копійки, чет­вертого — 8 копійок. І так цілий місяць, кожного дня в двічі більше, ніж за попередній.

Мільйонер. І потім що?

Незнайомець. Все, більше нічого. Тільки чітко до­тримуватись угоди. Але раніше, як через місяць, уго­ду розривати не смій!

Вони розійшлися.

Мільйонер. Оце так удача! І справді, гроші на гроші біжать. Моїй радості не має краю.

(Показати 2-3 дні, як вони обмінюють копійки на пачки по 100000).

Далі ведучий записує на дошці результат угоди.

1-й день 100000                                           1 коп.

2-й день 100000                                           2 коп.

3-й день 100000                                           4 коп.

4-й день 100000                                           8 коп.

28-й день 100000                  1342177 крб. 28 коп.

29-й день 100000                 2684354 крб. 56 коп.

30-й день 100000                 5368709 крб. 12 коп.

3000000 крб.       10737418 крб. 23 коп.

Вчитель. Багатьом здається, що математика, це та­ка наука, яка немає жодного зв’язку з природою, тваринним світом. Насправді, жива природа теж жи­ве за математичними законами (в ідеалі).

Ми знаємо, наприклад, симетрію, можемо навес­ти багато прикладів симетрії в природі.

Прогресії теж знаходять своє місце в живому світі.

«Історики» продовжують розповідати факти.

1.  Швидке розмноження (про маківки і кульбаб-ки). Учні заготували плакати з розрахунками зазда­легідь, щоб наочно продемонструвати розмноження, яке (в ідеальних умовах) відбувається за законами ге­ометричної прогресії (Перельман).

2.    «Історики»   повідомляють   про   розмноження тварин: кроликів, лангустів та комах (мух) (та ж літе­ратура).

Вчитель. Законами геометричної прогресії корис­туються також шахраї. Розповідаю про розповсюд­ження так званих «акцій», які зовсім недавно захоп­лювали наше населення.

«Історики» повідомляють про «Лавину дешевих велосипедів» (там же).

Слово надається теоретикам.

Теоретики виводять формули арифметичної і гео­метричної прогресій.

1)      аn = а1 + d (n – 1)

Sn = ((a1 + аn)/2) . n

Sn = ((2a1 + d (n – 1))/2) n

2)      bn = b1g (n-1)

Sn = (b1(gn – l))/(g – 1)

S = b1/(l – g)

Вчитель. Приклади застосування арифметичної прогресії в житті: вартість телеграм, вартість проїзду в таксі та інше.

В дію вступають «практики».

Розповідь про Гаусса (математична шкатулка). Треба підрахувати суму чисел від 1 до 100.

Задача очень не проста

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа.

Пять первых связок изучи

Найдешь к решению ключи.

Запис на дошці: 1+2 + 3 + 4 + 5 + …. + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

1  +  100 =  101

2  + 99 =  101

3  + 98 = 101

4  + 97 =  101

5  + 96 =  101

Всього таких пар 50

S =  101 х 50 = 5050

S =1 + 100/ 2 х 100 = 5050

Давным-давно сказал мудрец,

Что прежде всего надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Наступний «практик» розв’язує рівняння:

2 + х + 1) + (х2 + 2х + 3) + (х2 + Зх + 5) + … + (х2 +20х + 39)  = 4500

Якщо уважно проаналізувати, то можна побачити:

х2 + 2х+3-(х2 + х+1)=х + 2

х2 + Зх + 5 –  (х2 + 2х + 3)  = х + 2 …

Тобто члени рівняння складають арифметичну прогресію, кількість членів якої дорівнює 20.

S = ((a1 + an)/2)*n

((х2 + х +  1  + х2 + 20х + 39)/2) 20 = 4500

((2х2 + 21х + 40)/2)*20 = 4500

(2х2 + 21х + 40)*10 = 4500

2 + 21х + 40 – 450 = О

2 + 21х – 410 = О

D = 441  + 3280 = 3721

х1,2 = (-21±61)/4

x1 = -20,5; х2 =  10

Хвилина відпочинку

Задача 1.

За 1 хвилину із однієї бактерії утворюється дві. Одна бактерія разом зі своїм потомством заповнює пробірку за 1 годину. За який час цю ж пробірку за­повнять дві бактерії? (59 хвилин)

Задача 2.

Є книга, що містить 16 подвійних аркушів. На якому аркуші сума чисел, якими пронумеровані сторінки, буде найбільшою? (Однакова)

Задача про сто мір хліба (продовжують практики)

Сто мір хліба розділити між п’ятьма людьми те щоб другий одержав на стільки ж більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого, четвертий від третього, а п’ятий від четвертого. Крім того, двоє перших мають одержати в 7 разів менше, І трьох інших.

Скільки треба дати кожному?

Нехай a1 — 1 член прогресії, d — різниця

Одержать:

I-a1

II — a1 + d

III — a1 + 2d

IV — a1 + 3d

V — a1 + 4d

a1 + a1 + d + a1+2d + a1+3d + a1 + 4d = 100

7 (a1 + a1 + d) = a1 + 2d + a1 + 3d + a1 + 4d

5a1 +  l0d = 100

14a1 + 7d = 3a1 + 9d

a1 + 2d = 20

11a1 – 2d = 0

12a1 = 20

a1 = 20/12 = 10/6 = 5/3=1 2/3 (мір хліба)

I  2/3 + 2d = 20

2d = 20 –  1 2/3 2d = 18 1/3

d =  18 1/3 : 2 = 9 1/6 1—12/3

II — 1 2/3 + 9 1/6 =  10 5/6

III — 10 5/6 + 91/6 = 20

IV — 20 + 9 1/6 = 29 1/6

V — 29 1/6 + 9 1/6 = 38 1/3

Продовжують практики.

Задача про купівлю коня.

Чоловік продав коня за 156 крб. Покупець пе думав її купувати і повернув назад, сказавши, що дуже висока ціна. Тоді продавець запропонував в умови.

Якщо для тебе це зависока ціна, то купи тіл цвяхи з її підків, а коня одержиш в додачу безкоштовно.

Цвяхів у кожній підкові 6. Дай мені:

за II цвях — 1/4 копійки

за 2 цвях — 1/2 копійки

за 3 цвях — 1 копійка і т.д.

Покупець дуже зрадів і погодився.

За 24 цвяхи йому довелося заплатити

1/4 +  1/2 + 1 + 2 + 22 + Т + … + 224-3 копій

S = (221* 2 –  1/4) / (2 –  1) = 222 –  1/4 = = 4194303 3/4 коп.

Тобто близько 42 тис. крб. За такої умови не я і коня до того ж віддати.

Задача про годівлю курей.

(«Цікава алгебра», cm. 160, Перельман)

Для 31 курки заготована деяка кількість корму із розрахунку по 1 декалітру на тиждень на кожну курку. При цьому передбачалось, що кількість курей змінюватись не буде. Але насправді кількість курей щотижня зменшувалась на 1, то корму вистачило на подвійний період.

Скільки ж було корму і на скільки часу розрахо­вано?

Розв’язок.

Нехай було заготовлено х декалітрів корму на у тижнів. Корм розрахований на 31 курку по 1 де­калітру в тиждень, тоді х = 31 у.

За перший тиждень витратили 31 дл, за другий 30, за третій 29 і так далі до останнього тижня подвоєно­го періоду було витрачено 31 — 2у + 1 дл

(1 день — 31 дл

2 день — 31 —  1 дл

3 день — 31  – 2 дл

……….

2у – х – 31  –  (2у –  1)  = 31  – 2у +  1 дл)

Отже, весь запас корму:

х = З1у = 31 + 30 + 29 + … + (31 – 2у +  1)

Знайдемо суму 2у членів прогресії, а1 = 31,

а аn = 31 – 2у + 1

З1у = ((31 + 31 – 2у + 1) 2у )/ 2 = (63 – 2у) у, у Ф 0, тому 31 = 63 — 2у, у = 16, звідси

х = З1*у = 31*16 = 496

Заготовлено було 496 декалітрів корму на 16 тижнів.

Всі учні одержують завдання на картках на засто­сування формул прогресій.

1)  a1 =  12, d = – 2. Знайти а10.

2)  a1 = 3, a20 = 57. Знайти S20.

3)  x1 = 16, д = 1/2. Знайти х7.

4)  3; – 6; 12; – 24, … Знайти S6.

5)    Знайти   нескінченної   геометричної   прогресії: 2/3; 4/9; 8/27; …

Слово надається експертам.

Підсумок уроку

 

УРОК-ЗАХИСТ УЧНЯМИ ТВОРЧИХ РОБІТ

Тема:      Арифметична і геометрична прогресії. Нестандартні задачі

Мета: Формувати уміння застосовувати здобуті знання у нестандарт­них умовах; вчити їх аналізувати та систематизувати ті знання, які вони отримують на уроках і черпають з додаткової літерату­ри.

Напис на дошці:                                       … Математика безмежно різно-

манітна, як світ, і присутня, міститься в усьому.

М. П. Єругін

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань (у формі бесіди).

Запитання для бесіди

1.   Сформулювати означення арифметичної прогресії.

2.   Яке число називають різницею арифметичної прогресії?

3.   Якою формулою можна задати будь-яку арифметичну прогресію?

4.   Яка характерна властивість арифметичної прогресії?

5.   Сформулювати означення геометричної прогресії.

6.   Що називають знаменником геометричної прогресії?

7.   Яка характерна властивість геометричної прогресії?

8.   Записати формулу п-ro члена арифметичної прогресії.

9.   Записати формулу п-ro члена геометричної прогресії.

10. Записати формулу суми п перших членів арифметичної прогресії.

11. Записати формулу суми п перших членів геометричної прогресії.

12. Записати формулу суми нескінченної геометричної прогресії, в якої

П. Повідомлення теми та мети уроку. Оголошуються прізвища до­повідачів та порядок їх виступів.

ІІІ. Творче застосування узагальнених знань, навичок та умінь. До­повідачі виступають зі своїми повідомленнями. У кінці кожного виступу учні задають доповідачу запитання.

Перший виступ. З давніх часів відомі задачі та легенди, в результаті розв’язання яких з’являються числа-гіганти. Зрозуміло, що мова йде про задачі, пов’язані з геометричною прогресією (q>1). Одна з найбільш ві­домих легенд — легенда про винахідника шахів. Індійський цар Шерам закликав до себе винахідника шахів і запропонував, щоб він сам вибрав собі нагороду за свій винахід. Царя вразила скромність прохання: дати за першу клітину шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — дві, за тре­тю — ще у два рази більше, тобто чотири, за четверту — ще у два рази більше, і так до 64 клітини. Виникає закономірне запитання: скільки зер­нин повинен був одержати винахідник шахів?

Ця задача вперше трапляється у хорезмського математика аль-Біруні (973-1050 p.). Кількість зернин, про які йдеться в задачі, є сумою 64

членів геометричної прогресії, у якої перший член дорівнює 1, а знамен­ник — 2.

Знайдемо цю суму (S) дещо іншим способом, ніж у шкільному підруч­нику:

S = 1 + 2 + 22+23+… + 262+263; ;

S = 1+2(S-263); S = 1 + 2S-264;

S = 264-1.

Підраховано, що кількість зернин, які би хотів отримати винахідник шахів, — 18446744073709551615, що приблизно становить 13,8 млрд. 40-тонних вагонів. Ця кількість зерна, розсипана по всій поверхні Землі, утворить шар, в якому на 1 м” припадає 4,3 кг зерна.

Аналогічно можна вивести формулу суми п перших членів геометрич­ної прогресії в загальному вигляді: S = b1 + b1q + b1q2 +… + b1qn-1;

S = b1+ q(b1 + b1q +… + b1qn-2); S = bl+q(S-b1qn-1);

S = bl+qS-b1qn; qS-S = b1qn –b1; S(q-1) = b1(qn -1);

 

Приклад 1. Знайти суму

S = 1-2 + 4-8 + 16-32 + 64-128 + 256-512;

S = 1-2(1-2 + 4-… + 256); S = 1-2(S + 512);

3S = -1023; S = -341.

Приклад 2. Знайти суму

; ; ;

Виступ другий.

Задача 1. Довести, що числа виду де n  N, не утворюють арифметичну прогресію.

Доведення. Припустимо, що для деяких n  N  – арифметична прогресія. Тоді за характерною властивістю арифметичної прогресії +Розв’яжемо отримане рівняння, врахо­вуючи, що nN: ; n2+2n+1=n2+2n; 1=0. Рівняння коренів не має і, значить, для чисел не існує таких n  N, щоб вони утворювали арифме­тичну прогресію.

Задача 2. Розв’язати рівняння

2 +х+1) + (х2 +2x + 3) + (x2 +3х + 5) + …+ (х2 +20х + 39) = 4500.

Доданки х2 +х + 1,  х2+2х + 3, х2 +3х + 5,… х2 +20х + 39 утворюють арифметичну       прогресію,       у       якої        d = х + 2, n = 20.        Тоді З іншого боку  520 = 4500. Отже, ((x2+x + l) + (x2+20x + 39))-10 = 4500; 2x2 +21x-410 = 0. Корені цьо­го рівняння, а отже, і початкового: х1 = 10; х2 = -20,5 .

Виступ третій.

Задача 1. Розв’язати рівняння

2х + 1+х234х5 +…= , де |х|<1. Перепишемо дане рівняння так:

2х + І + (х2-^+^-;с5 +…)=                    (*)

У дужках маємо суму членів нескінченно спадної геометричної про­гресії, де b1, = х2, q = -х. За формулою 5 = ця сума дорівнює .

Тому рівняння (*) рівносильне такому рівнянню:

; 18x2+5x-7=0

Корені останнього: ;

Задача 2. Розв’язати рівняння

де

Розв’язання аналогічне попередньому:

 

; ; .

 

Обговорення виступів. Учні висловлюють свої враження від захисту творчих робіт, аналізують ці роботи (відповідність темі, повнота розроб­ки, краса та логіка викладу), вносять доповнення, роблять поправки.

IVПідсумок уроку. Вчитель підсумовує учнівські виступи та допов­нення до них, вказує на культуру математичного мовлення і мовлення взагалі, на лаконічність та ясність доповідей та відповідей на запитання.

VОцінювання. Оцінки виставляються за основні виступи та за допо­внення до них (з обов’язковим коментарем).

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Еврика (математична гра для старшокласників) (98.9 KiB, Завантажень: 13)

завантаження...
WordPress: 22.97MB | MySQL:26 | 0,315sec