Елементарне дослідження функції та побудова графіка функції

Вступ

Математичний аналіз — сукупність розділів математики, що спираються на поняття функції і на ідеї числення нескінченно малих. Важко логічно провести межу між математичним аналізом та іншими розділами математики: за історичною традицією під назвою «математичний аналіз» об’єднуються диференційне та інтегральне числення, основи теорії функцій і диференціальних рівнянь і ряд інших розділів математики, що виникли в систематичній формі в результаті праць математиків 17—18 століття. Природнім продовженням класичного математичного аналіза є функціональний аналіз, в який входять як спеціальні розділи варіаційне числення і теорія інтегральних рівнянь, що виникли раніше загального функціонального аналізу.[1] Як розділ математики, математичний аналіз оформився наприкінці 17 століття, але його апарат постійно вдосконалюється і розвивається.

Історія виникнення

В історії математики можна умовно виділити два основні періоди: елементарної та сучасного математики. Межею, від якої ведеться відлік епохи нової (іноді – вищої) математики, стало XVII століття. Саме в XVII столітті появився математичний аналіз. До кінця XVII ст. І. Ньютоном, Г. Лейбніцем та їх попередниками було створено апарат диференційного і інтегрального числення, що становить основу математичного аналізу і навіть математичну основу всього сучасного природознавства.

Рух, змінні величини і їхня взаємозв’язку оточують нас всюди. Різні види руху їх закономірності становлять основний об’єкт вивчення конкретних наук: фізики, геології, біології, соціології та ін.. Тому точна мова і відповідні математичні методи опису і вивчення таких величин виявилися необхідними в усіх областях знань приблизно як числа й арифметика необхідні для опису кількісних співвідношень. Отож математичний аналіз став основою мови і математичних методів опису змінних величин та зв’язків між ними. В наші дні без математичного аналізу неможливо було б не тільки розрахувати космічні траєкторії, роботу ядерних реакторів, закономірності розвитку циклону, а й єфективно керувати виробництвом, розподілом ресурсів, організацією технологічних процесів, бо все це – динамічні процеси.

Елементарна математика була переважно математикою постійних величин, вона вивчала головним чином співвідношення між елементами геометричних фігур, арифметичні властивості чисел і алгебраїчні рівняння.

Передумови появи математичного аналізу

До кінця XVII ст. склалася ситуація коли в математиці було накопичено занання про розв’язки деяких важливих класів задач (наприклад, задачі про обчислення площ і об’ємів нестандартних фігур, задача проведення дотичних до кривих), а також з’явилися методи розв’язання різних часткових випадків. Виявилося, що ці задачі тісно пов’язані з задачами опису деякого (не обов’язково рівномірного) механічного руху, й зокрема обчислення його миттєвих характеристик (швидкості, прискорення в будь-який момент часу), а також знаходження пройденого шляху при русі, що відбувається з заданою змінною швидкістю. Розв’язок цих проблем був необхідним для подальшого розвитку фізики, астрономії, техніки. До середини XVII ст. в працях Р. Декарта і П. Ферма було закладено основи аналітичного методу координат (так званої аналітичної геометрії), які дозволили сформулювати різноманітні за своїм походженням геометричні і фізичні задачі загальною мовою чисел і числових залежностей (числових функцій).

Всі ці обставини призвели до того, що наприкінці XVII ст. двом ученим І. Ньютону і Г. Лейбніцу – незалежно один від одного вдалося створити математичний апарат для розв’язку вказаних задач. В своїх працях ці вчені зібрали й узагальнили окремі результати попередників починаючи від Архімеда і закінчуючи своїми сучасниками, такими як: Б. Кавальєрі, Б. Паскаль, д. Грегорі, І. Барроу. Цей апарат і склав основу математичного аналізу – нового розділу математики, який вивчає різні динамічні процеси, тобто взаємозв’язки змінних величин, які математики називають функціональними залежностями чи функціями. До речі, сам термін «функція» виник саме в XVII ст., а в наш час він придбав не тільки загальноматематичне, а й загальнонаукоуве значення.

Теоретичні відомості до першої частини

Неперервна функція

Неперервна функція — одне з основних понятть математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція f(x) дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам Δx аргумента x відповідають малі зміни Δf значення функції, що можна записати так: коли Це означає, що графік неперервнoї функції не має стрибків, тобто може бути накреслений “не відриваючи олівець від паперу”. Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Означення

Функція f(x) дійсної змінної, яка означена в області , неперервна в точці якщо для довільного ε > 0 знайдеться таке δ > 0 (яке залежить від ε), що з випливає | f(x) − f(x0) | < ε. Функція f(x) неперерена в області , якщо f(x) неперервна в кожній точці цієї області.

Функція неперервна в точці

Нехай , x0гранична точка множини A.

Функція f називається неперервною в точці
x0 якщо:

  1. якщо функція f(x) визначена в точці x0.
  2. якщо існує границя
  3. .

    Частина 1

  1. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік


    Розв´язання:

    Функція f(x) визначена на всій числовій осі. Але з цього не випливає, що вона є неперервною на числовій осі, так як вона задана трьома різними формулами для різних інтервалів зміни аргументу х і може мати розрив в точках х=-2 і х=1, де змінюється її аналітичний вираз. Дослідимо точку х=-2. Визначимо односторонні границі в цій точці.



    Тут лівосторонні і правосторонні границі скінченні, але не рівні між собою, тобто не виконується друга умова неперервності функції. Так як, односторонні границі f(x) в точці х=2 не рівні між собою в цій точці функція має розрив першого роду (скінченний розрив)

    Стрибком функції f(x) в точці розриву називають різницю її односторонніх границь

    ,

    якщо ці границі різні. Знайдемо стрибок функції в точці х=-2


    Дослідимо точку х=1. Визначмо односторонні границі в цій точці



    Отже, і в точці х=1 дана функція має розрив першого роду. Знайдемо стрибки функції в цій точці:


    Виконаємо побудову графіка даної функції:


     

    1. Дослідити функцію на неперервність в вказаних точках



    Розв’язання:

    При х=-2 дана функція не існує: в цій точці функція терпить розрив. Визначимо односторонні границі функції при x→-2 зліва і справа

    , так як значення дробу показника прямуватиме до нуля, залишаючись, при цьому , а =1

    Маємо:

    , так як знаменник дробу показника прямуватиме до нуля залишаючись додатнім.

    Таким чином, при х=-2 дана функція має розрив другого роду. При х=-1 Дана функція є неперервною, так як виконується всі три умови неперервності функції

Теоретичні відомості до другої частини

Асимптота

Перейти до: навігація, пошук

Асимптота кривої (грец.
ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це
пряма, до якої крива при видаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближення x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.


f(x)=1/x

Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1/x кожна з прямих x = kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …) для функції у = ctg(x).


f(x)=ctg(x)

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е-x sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз (+графік).

Криві, що описуються рівняннями х³ + у³ — Заху = 0 (декартів лист) (+графік), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.


f(x)=1/x+x

Коефіцієнти k і b в рівнянні прямої у = kx + b — похилої асимптоти кривої у = f(x) при віддаленні до плюс чи мінус нескінченності, знаходять як границі:

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0. Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у сучасній математиці — «асимптотичні методи дослідження».

Не всі криві мають асимптоти. Наприклад парабола асимптот не має.

Границя функції в точці

Перейти до: навігація, пошук

Нехай , x0гранична точка множини A. Число a називається границею функції f в точці
x0, якщо


Позначення:

або при

Екстремум

Екстремум (рос.экстремум, англ. extremum, нім. Еxtremum n) – найбільше та найменше значення функції.

Розрізняють:

локальний – екстремум в деякому довільно малому околі даної точки, і

глобальний – екстремум в усій розглядуваній області значень функцій.

Частина 2

  1. Знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перетину графіка функції

Розв’язання:

Визначимо спочатку область визначення даної функції. Вираз, що стоїть під знаком логарифма повинен бути додатнім.

>0 >0


Якщо в деякому інтервалі крива розміщена нижче довільної дотичної, то вона називається опуклою в гору, а якщо вона розміщена вище від довільної своєї дотичної, то вона називається опуклою вниз в цьому інтервалі.

Точкою перетину називається точка на кривій, де змінюється напрям її опуклості.

Напрям опуклості кривої характеризується знаком другої похідної : якщо в деякому інтервалі , то крива опукла вниз, а якщо , то крива вгору в цьому інтервалі. (Часто криву в інтервалі, де називають вгнутою в цьому інтервалі, а в інтервалі де – опуклою в ньому).

Абсциси точок перетину кривої шукають користуючись наступним правилом:

1)    Знаходять y” і точки х, в яких , або не існує і які лежать у середині області визначення.

2)    Визначають знак y” зліва і справа від кожної з цих точок.

Досліджувана точка х буде абсцисою точки перетину, якщо по різні сторони від неї y” має різні знаки. Інтервали, де крива опукла вгору і випукла вниз визначаються з умови, що їх межами можуть бути тільки абсциси точок перетину, точки розриву і граничні точки область розміщення кривої.

Знаходимо точки перетину, користуючись наведеним вище правилом. Знаходимо точки, в яких , або не існує, а крива неперервна і які лежать всередині області визначення.




в точці , яка не може бути абсцисою точки перетину, так як не належить ОДЗ. y” не існує в точках х=0 і х=3, але ці точки не можуть бути абсцисами точок перетину, так як вони є точками розриву.

Отже, дана крива не має точок перетину. В інтервалі , тому в цьому інтервалі крива напрямлена опуклістю вгору. В інтервалі , тому в цьому інтервалі крива напрямлена опуклістю вниз.

 

4. Знайти асимптоти графіка функції.


Розв’язання:

Для знаходження асимптоти користуються наступними положеннями.

А) Якщо при х=а крива має нескінченний розрив, тобто якщо при або при функція прямує до нескінченності (того або іншого знака), то пряма х=а є вертикальною асимптотою

Б) Невертикальні асимптоти кривої , якщо вони існують, мають рівняння виду , де параметри і визначаються :

і

При однаковій поведінці х в обох формулах, тобто в обох формулах

Якщо , дана крива має нескінченний розрив. Тому пряма є вертикальна асимптота. Для того, щоб знайти невертикальні асимптоти, знайдемо спочатку параметри



Підставляючи знайдені значення в рівняння , одержимо рівняння невертикальної асимптоти

або

Інших невертикальних асимптот крива не має, так як при значення будуть ті самі. Таким чином, дана крива має дві асимптоти: вертикальна асимптота має рівняння , а кожна асимптота має рівняння

5. Провести повне дослідження зазначеної функції і побудувати її графік.


Розв’язання:

  1. Функція терпить розрив при х=-1. При всіх інших значеннях аргументу вона неперервна.
  2. Дана функція не належить ні до парних ні до непарних, так як
  3. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат і інтервали знакосталості функції. Якщо х=0, то з даного рівняння зайдемо у=2, а при у=0 знайдемо х=1 і х=2. Це значить, що графік функції перетинає координатні осі в точках

    Інтервали, де функція зберігає знак (інтервали знакосталості) визначаються з умови, що їх межами можуть бути тільки точки перетину графіка функції з віссю ОХ, точки розриву і межі визначення функції. Для досліджуваної функції такими точками х є точки:



    Визначаючи знаки функції при якому –небудь значенні як і інтервалу . Наприклад, робить висновок, що в цьому інтервалі функція набуває від’ємних значень. В інтервалі (-1;1) функція набуває додатніх значень, так як, наприклад, . В інтервалі (1;2) функція набуває від’ємних значень, так як, наприклад, В інтервалі функція набуває додатніх значень, так як, наприклад, Y(3)>0

  4. Знайдемо асимптоти графіка функції. Пряма х=-1 є вертикальною асимптотою графіка функції, так як при х=-1 функція має нескінченний розрив. Знаходитимо параметри для визначення невертикальних асимптот.



    Підставляючи знайдені значення в рівняння , одержимо рівняння невертикальної асимптоти


    Інших невертикальних асимптот крива не має, так як при значення будуть ті самі.

  5. Знайдемо точки екстремуму і інтервали зростання і спадання функції. Знаходимо похідну.



    Поклавши , знайдемо
    , які є критичними. y’ не існує в точці x=-1, але ця точка не є критичною так як є точкою розриву.

    Дослідимо критичні точки, визначаючи знак y’ зліва і справа від кожної з цих точок. Для скорочення обчислень і для точності це дослідження зручно записати у виді слідуючої таблиці:

Точка є точка максимуму



Точка є точка мінімуму



  1. Знайдемо точки перетину графіка функції і інтервали опуклості та вгнутості. Для цього знаходимо другу похідну.




    Помічаємо, що друга похідна ні при якому значенні аргументу не перетворюється в нуль. Отже, графік досліджуваної функції не має точок перетину. Лівіше від точки розриву х=-1 друга похідна

    , тому в інтервалі крива опукла. Правіше від точки х=-1 друга похідна , тому в інтервалі крива вгнута.

  2. Враховуючи результати дослідження будуємо ескіз графіка даної функції


6. Провести повне дослідження даної функції і побудувати її графік


Розв’язання:

  1. Встановимо область визначення функції. Квадратний тричлен, що знаходиться під знаком логарифма, можна залишати наступним чином:


Помічаємо, що під знаком логарифма буде додатне число при довільному значенні аргументу Х. Отже, областю визначення даної функції є вся числова вісь. Функція всюди неперервна і не має точок розриву.

  1. Так як , то функція не належить ні до парних ні до непарних.
  2. Якщо х=0, то одержуємо рівняння:

    , яке не має розв’язку.

    Отже, графік функції перетинає координатні осі в одній точці

  3. Графік функції не має вертикальної асимптоти, так як дана функція всюди неперервна. Для визначення параметрів похилих асимптот, скористаємось формулами:


    Щоб знайти останню границю двічі скористаємось правилом Лопеталя.

     



    Отже, дана крива не має асимптот

  4. Дослідимо функцію на екстремум. Знайдемо першу похідну.


    Знаменник для довільного значення х. помічаємо, при x<4 перша похідна від’ємна, а при x>1 додатна. При x=1 перша похідна змінює свій знак х мінуса на плюс. В цій точці функція має мінімум:


    Отже, – точка мінімуму. Функція спадає на інтервалі і зростає на інтервалі

  5. Знайдемо точки перетину графіка функції і інтервали опуклості і вгнутості.



    Розіб’ємо всю числову вісь на три інтервали:

    В кожному інтервалі y”<0 так як, наприклад, y”(4)<0. В інтервалі так як, наприклад y”(0)>0. В третьому інтервалі y”<0 так як, наприклад, y”(4)<0

    При друга похідна змінює знак. Тому ці значення аргументу х абсцисами точок перетину. Визначимо ординати цих точок.


    Отже, – точки перетину графіка функції функції

    Графік функції є опуклим в інтервалі і вгнутим в інтервалі

  6. Будуємо ескіз графіка даної функції


7. Знайти найменше й найбільше значення функції

на відрізку




Розв’язання:

Для знаходження найбільшого або найменшого значення функції f(x) на відрізку [a; b], де вона неперервна :

  1. Знаходять критичні точки, що лежать всередині відрізка [a; b] і обчислюють значення функції в цих точках, не вдаючись в дослідження чи буде в них екстремум і якого виду;
  2. Обчислюють значення функції на кінцях відрізка, тобто f(a) і f(b)
  3. Порівнюють одержані значення функції: найбільше з них буде найбільшим значенням функції на даному відрізку, а найменше – найменшим значенням функції на всьому даному відрізку.

     

    Знайдемо критичні точки функції y(x), що лежать всередині відрізка [-4; 0], і обчислимо значення функції в цих точках. Знаходимо похідну


    Поклавши , знайдемо , які є критичними. Інших критичних точок немає, так як похідна y’ існує всюди. Із знайдених критичних точок тільки одна лежить всередині відрізка [-4; 0]. Знайдемо значення функції в цій точці


    Обчисляємо значення функції на кінцях відрізка [-4; 0].



Порівнюючи всі обчислені значення функції, робимо висновки: найбільше значення функції Y на відрізку [-4; 0] дорівнює і досягається нею на правому кінці відрізка в точці х=0, а її найменше значення і досягається у внутрішній критичній точці х=-3

 

 

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

  1. Ляшко І.І. Математичний аналіз в 2-х ч. Ч.1. К: Вища шк., 1992. 494 с.
  2. Овчинников П.П. Вища математика: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне і інтегральне числення. В 2-х ч. Ч.1. К.: Техніка, 1999. 592 с.
  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. Пособие для студентов вузов в 2-х частях. Ч.1. М.: Высш. шк., 1986. 415 с.
  4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математики. М.: Наука, 1986. 317 с.
  5. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища математика. К.: ЦУЛ, 2002. 400 с.

Положення про курсову роботу (проект) (ДПСЯ М –9-7.5.1-47-54-04). Полтава: ПУСКУ, 2004. 22 с.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

здати 1,2 (1.8 MiB, Завантажень: 0)

завантаження...
WordPress: 23.09MB | MySQL:26 | 0,336sec