Екстремуми функції. Необхідна і достатня умови екстремуму

Урок 18

Тема уроку. Екстремуми функції.

Необхідна і достатня умови екстремуму.

Мета уроку. Ввести поняття екстремуму функції,ознайомити учнів з необхідною і достатньою умовами екстремуму функції;навчити застосовувати дані поняття для знаходження екстремумів функції,розвивати логічне мислення.

Методи і прийоми навчання. Фронтальне опитування,колективне розв’язування вправ.

 

Хід уроку

I. Організаційна частина. Формування робочого настрою.

II. Актуалізація опорних знань.

  • Перевірка домашнього завдання;
  • Фронтальне опитування;
  • Завдання на вибір:

    1.Доведіть,що функція у=sinx -2x +1 спадає на всій області визначення.

    2.Знайдіть проміжки монотонності функції у=x2 + .

    3.Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція у= х3-3ах зростає на всій числовій осі.

    ІІІ. Пояснення нового матеріалу.

    Функція має максимум в точці , якщо для довільних точок із її околу виконується умова і має мінімум в точці, якщо виконується така умова: .

    Максимум і мінімум функції об’єднуються під загальною назвою екстремуму функції, який часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи, що поняття екстремуму пов’язане з достатньо малим околом точки екстремуму. Це означає на одному проміжку функція може мати декілька точок максимуму і мінімуму.

    Необхідною умовою існування екстремуму в точці диференційованої функції є рівність нулю її похідної: .

    Критичними або стаціонарними точками неперервної функції є ті точки, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує.

    Достатньою умовою існування екстремуму в точці для диференційованої функції є зміна знака похідної при переході через цю точку. Так при зміні знака з “+” на “–” в точці функція має максимум, а з “–” на “+” – мінімум (Рис. 6).


    Схема дослідження функції  на екстремум.
    1. Знайти область визначення функції .
    2. Обчислити похідну .
    3. Визначити критичні точки функції, тобто точки, в яких  або не існує.
    4. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції.
    5. Знайти екстремуми функції, обчисливши значення функції в точках екстремуму.

    Приклад 2.1. Дослідити на екстремум функцію .
    1. Область визначення цієї функції .
    2.Обчислюємо похідну функції .
    3. Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки функції:
    .
    Зауважимо, що в точці  похідна  не існує, але ця точка не є критичною, оскільки вона не входить в область визначення функції.
    4. На числову вісь наносимо область визначення функції і критичні точки (рис.5).


    Рис. 5. Інтервали монотонності

    Щоб встановити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки  виберемо, наприклад, значення  і  і знайдемо  і ; отже, , якщо  і , якщо .
    Аналогічно встановлюємо, що  на інтервалі  і , якщо .
    Згідно з достатньою умовою  – точка мінімуму цієї функції, а  – точка максимуму.
    5. Знаходимо ,

    Друга достатня умова екстремуму. Якщо функція  двічі диференційовна і , а , то  є точкою мінімуму функції; якщо , то  є точкою максимуму.

    Схема дослідження на екстремум функції  за допомогою другої достатньої умови загалом аналогічна до наведеної вище схеми. Відмінність в п. 4, який встановлює наявність екстремуму: тут необхідно знайти другу похідну  і визначити її знак у кожній критичній точці.

    ІV.Розв’язування вправ.

    №12.7

    2) f(x)= ;

    Знайти похідну функції

    f'(x)=4-x2 ;

    Знайдемо нулі функції

    4-x2=0;

    x=-2, x=2;

    Знайдемо точки мінімуму і максимуму функції

    xmax=2;

    xmin=-2;

    Відповідь: xmax=2; xmin=-2.

    4)

    Знайти похідну функції

    f'(x)=x2+6×-7;

    Знайдем нулі функції

    x2+6×-7=0;

    x1=1, x2=-7;

    Знайдемо точки мінімуму і максимуму функції

    xmax=-7;

    xmin=1;

    Відповідь: xmax=-7; xmin=1.

    13.2

    3) f(x)=2x4-8x;

    Знайти похідну функції

    f'(x)=8x3-8;

    Знайдемо нулі функції

    8×-8=0;

    8x3=8;

    x3=1;

    x=1;

    Знайдемо найбільше і найменше значення функції

    f(-2)=2*(-2)4-8*(-2)=2*16+16=48;

    f(1)=2*14-8*1=2-8=-6;

    max f(x)= f(-2)=48;

    min f(x)=f(1)=-6.

    Відповідь: max f(x)= f(-2)=48; min f(x)=f(1)=-6.

    4) f(x)= ;

    Знайти похідну функції

    f'(x)=x3-16x;

    Знайдемо нулі функції

    x3-16x=0;

    x*(x2-16)=0;

    x=0, x2-16=0;

    x2=16;

    x=-4, x=4.

    Знайдемо найбільше і найменше значення функції

    f(-1)= ;

    f(0)=

    f(2)= ;

    max f(x)= f(-1)=7,75;

    min f(x)=f(2)=-28.

    Відповідь: max f(x)= f(-1)=7,75; min f(x)=f(2)=-28.

    №12.15

    3) f(x)=

    Знайти похідну функції

    f'(x)=

    Знайдемо нулі функції


    6x=0;

    x=0;

    Точки екстемуму функції

    xmin=0;

    Знайдемо проміжки зростання і спадання функції

    f'(-1)<0;

    f'(1)>0;

    зростає на спадає на

    Відповідь: xmin=0; зростає на спадає на

    6) f(x)=2x-;







    Точки екстемуму функції

    xmin

    Знайдемо проміжки зростання і спадання функції

     

    спадає на

    зростає на

    Відповідь: xmin спадає на зростає на

    V. Підсумок уроку.

    Учні повторюють схему знаходження екстремумів функції, розставляють акценти.

    VІ. Завдання додому.

    п.12 приклад 2 ст. 114 № 12.19., № 12.21


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 18 (99.9 KiB, Завантажень: 26)

завантаження...
WordPress: 18.32MB | MySQL:23 | 0.429sec