• Зареєструватись
  • План-конспект уроку на тему: Екстремуми функції. Необхідна і достатня умови екстремуму

    загрузка...

    Урок 18

    Тема уроку. Екстремуми функції.

    Необхідна і достатня умови екстремуму.

    Мета уроку. Ввести поняття екстремуму функції,ознайомити учнів з необхідною і достатньою умовами екстремуму функції;навчити застосовувати дані поняття для знаходження екстремумів функції,розвивати логічне мислення.

    Методи і прийоми навчання. Фронтальне опитування,колективне розв’язування вправ.

     

    Хід уроку

    I. Організаційна частина. Формування робочого настрою.

    II. Актуалізація опорних знань.

    • Перевірка домашнього завдання;
    • Фронтальне опитування;
    • Завдання на вибір:

      1.Доведіть,що функція у=sinx -2x +1 спадає на всій області визначення.

      2.Знайдіть проміжки монотонності функції у=x2 + .

      3.Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція у= х3-3ах зростає на всій числовій осі.

      ІІІ. Пояснення нового матеріалу.

      Функція має максимум в точці , якщо для довільних точок із її околу виконується умова і має мінімум в точці, якщо виконується така умова: .

      Максимум і мінімум функції об’єднуються під загальною назвою екстремуму функції, який часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи, що поняття екстремуму пов’язане з достатньо малим околом точки екстремуму. Це означає на одному проміжку функція може мати декілька точок максимуму і мінімуму.

      Необхідною умовою існування екстремуму в точці диференційованої функції є рівність нулю її похідної: .

      Критичними або стаціонарними точками неперервної функції є ті точки, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує.

      Достатньою умовою існування екстремуму в точці для диференційованої функції є зміна знака похідної при переході через цю точку. Так при зміні знака з “+” на “–” в точці функція має максимум, а з “–” на “+” – мінімум (Рис. 6).


      Схема дослідження функції  на екстремум.
      1. Знайти область визначення функції .
      2. Обчислити похідну .
      3. Визначити критичні точки функції, тобто точки, в яких  або не існує.
      4. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції.
      5. Знайти екстремуми функції, обчисливши значення функції в точках екстремуму.

      Приклад 2.1. Дослідити на екстремум функцію .
      1. Область визначення цієї функції .
      2.Обчислюємо похідну функції .
      3. Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки функції:
      .
      Зауважимо, що в точці  похідна  не існує, але ця точка не є критичною, оскільки вона не входить в область визначення функції.
      4. На числову вісь наносимо область визначення функції і критичні точки (рис.5).


      Рис. 5. Інтервали монотонності

      Щоб встановити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки  виберемо, наприклад, значення  і  і знайдемо  і ; отже, , якщо  і , якщо .
      Аналогічно встановлюємо, що  на інтервалі  і , якщо .
      Згідно з достатньою умовою  – точка мінімуму цієї функції, а  – точка максимуму.
      5. Знаходимо ,

      Друга достатня умова екстремуму. Якщо функція  двічі диференційовна і , а , то  є точкою мінімуму функції; якщо , то  є точкою максимуму.

      Схема дослідження на екстремум функції  за допомогою другої достатньої умови загалом аналогічна до наведеної вище схеми. Відмінність в п. 4, який встановлює наявність екстремуму: тут необхідно знайти другу похідну  і визначити її знак у кожній критичній точці.

      ІV.Розв’язування вправ.

      №12.7

      2) f(x)= ;

      Знайти похідну функції

      f'(x)=4-x2 ;

      Знайдемо нулі функції

      4-x2=0;

      x=-2, x=2;

      Знайдемо точки мінімуму і максимуму функції

      xmax=2;

      xmin=-2;

      Відповідь: xmax=2; xmin=-2.

      4)

      Знайти похідну функції

      f'(x)=x2+6×-7;

      Знайдем нулі функції

      x2+6×-7=0;

      x1=1, x2=-7;

      Знайдемо точки мінімуму і максимуму функції

      xmax=-7;

      xmin=1;

      Відповідь: xmax=-7; xmin=1.

      13.2

      3) f(x)=2x4-8x;

      Знайти похідну функції

      f'(x)=8x3-8;

      Знайдемо нулі функції

      8×-8=0;

      8x3=8;

      x3=1;

      x=1;

      Знайдемо найбільше і найменше значення функції

      f(-2)=2*(-2)4-8*(-2)=2*16+16=48;

      f(1)=2*14-8*1=2-8=-6;

      max f(x)= f(-2)=48;

      min f(x)=f(1)=-6.

      Відповідь: max f(x)= f(-2)=48; min f(x)=f(1)=-6.

      4) f(x)= ;

      Знайти похідну функції

      f'(x)=x3-16x;

      Знайдемо нулі функції

      x3-16x=0;

      x*(x2-16)=0;

      x=0, x2-16=0;

      x2=16;

      x=-4, x=4.

      Знайдемо найбільше і найменше значення функції

      f(-1)= ;

      f(0)=

      f(2)= ;

      max f(x)= f(-1)=7,75;

      min f(x)=f(2)=-28.

      Відповідь: max f(x)= f(-1)=7,75; min f(x)=f(2)=-28.

      №12.15

      3) f(x)=

      Знайти похідну функції

      f'(x)=

      Знайдемо нулі функції


      6x=0;

      x=0;

      Точки екстемуму функції

      xmin=0;

      Знайдемо проміжки зростання і спадання функції

      f'(-1)<0;

      f'(1)>0;

      зростає на спадає на

      Відповідь: xmin=0; зростає на спадає на

      6) f(x)=2x-;







      Точки екстемуму функції

      xmin

      Знайдемо проміжки зростання і спадання функції

       

      спадає на

      зростає на

      Відповідь: xmin спадає на зростає на

      V. Підсумок уроку.

      Учні повторюють схему знаходження екстремумів функції, розставляють акценти.

      VІ. Завдання додому.

      п.12 приклад 2 ст. 114 № 12.19., № 12.21


    Урок  18
    Урок 18
    Урок 18.docx
    99.9 KiB
    Завантажень: 9
    Для скачування файлів необхідно здійснити або Зареєструватись

    Залишии коментар