Дипломна робота на тему:«ВАРІАЦІЙНІ ТА ВАРІАЦІЙНО-ІТЕРАТИВНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ ТА ІНТЕГРО-ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ»

Зміст

Вступ……………………………………………………………..…………..3

Розділ І. Варіаційні методи. Основні поняття та факти.

§ 1. Додатні та додатньо визначені оператори. Енергетичний простір…………………………………………………………….…….……11

§ 2. Узагальнені похідні…………………………………..……..….………17

§ 3. Метод Рітца. ……………………………………………………..………26

§ 4. Проблема власних чисел……………………………..………………….37

§ 5. Інші варіаційні методи…………………………….……………….…..44

§ 6. Метод найменших квадратів…………………………..………..……….50

Розділ ІІ. Застосування варіаційних методів до інтегральних та інтегро-функціональних рівнянь.

§ 7. Метод Рітца розв’язування інтегральних рівнянь……….………………59

§ 8. Метод моментів та метод Келога……………………………..……..…..66

§ 9. Заміна ядра виродженим та застосування визначника Фредгольма……………………………………………………………….….79

§ 10. Розв’язування інтегро-функціональних рівнянь варіаційними методами……………………………………………………….….………….74

§ 11. Застосування варіаційно-ітеративного методу до інтегральних та інтегро-функціональних рівнянь………………………………….………..…..97

Висновок.

Література.

Вступ

Зростання складностi i стрiмкий розвиток кола сучасних актуальних науково-технiчних задач, якi ефективно i найбiльш точно можуть бути математично описанi за допомогою диференцiальних рiвнянь (як звичайно, так i з вiдхиленням аргументу) iнтегральних та iнтегро-функцiональних рiвнянь приводять до неможливостi, взагалi кажучи, побудови їх точних розв’язкiв. Тому важливе значення має питання розробки наближених методiв їх розв’язування.

Метою дипломної роботи є дослiдження деяких варіаційних та варіаційно-інтеративних методiв наближеного розв’язування інтегральних та інтегро-функціональних рiвнянь.

Серед великої кiлькостi методiв по принципу побудови наближених розв’язкiв, як окремий клас видiляються прямi методи, якi в силу їх специфiки належать до числа найбiльш застосовних. До групи прямих методiв вiдносяться достатньо добре вивченi в наш час проекцiйнi та варiацiйнi методи. Основна iдея цих методiв полягає в зведеннi розв’язуваного рiвняння до системи алгебрачних рiвнянь, що досягаються шляхом апроксимацiї операторiв чи шуканих розв’язкiв, або тим i iншим шляхом одночасно.

Варiацiйний метод, частковим випадком якого є метод Рiтца i метод найменших квадратiв, вперше був запропонований В. Рiтцем.

Рiтц розглядає свiй метод наступним чином. Нахай поставлена варiацiйна задача для iнтеграла


(1)

Ця задача полягає в наступному: розглядасться деякий клас функцiй, (їх називають допустимими); в цьому класi потрiбно знайти ту функцiю, на якiй цей iнтеграл досягає свого найменшого значення, на будь-якiй iншiй допустимiй функцiї.

Задається деяка послiдовнiсть функцiй


(2)

стосовно яких виконуються двi вимоги:

1) при будь-якому натуральному n i при будь-яких значеннях числових коефiцiєнтiв функцiя


(3)

2) яка б не була допустима функцiя , можна вибрати натуральне число n i числовi коефiцiснти так, щоб функцiя визначена вище досить мало вiдрiзнялась вiд функцї .

В iнтегралі (1) пiдставимо , замiсть , тодi I перетворюсться в функцiю чисел . Виберемо цi числа так, щоб набуло найменшого значення, для цього необхiдно, щоб задовольняли рiвнянням


(4)

Розв’язавши цi рiвняння i пiдставивши одержанi значення в одержимо функцiю , яку Рiтц розглядає, як наближений розв’язок варiацiйної задачi.

Подальшому дослiдженню варiацiйних методiв присвяченi роботи Н.М. Крилова, С.Г. Мiхлiна, Л.М. Канторовича та iн.

В дипломній роботi дослiджується питання застосування до лiнiйних диференцiальних, iнтегральних та iнтегро-функцiональних рiвнянь деяких варiацiйних методiв.

В першому роздiлi коротко дається характеристика вищезгаданих методів розв’язування iнтегральних та iнтегро-функцiональних рiвнянь

Нехай вимагається знайти мiнiмум iнтеграла


(5)

на деякому класi допустимих функцiй . Оскiльки функцiю є , що реалiзовує мiнiмум iнтеграла (5), взагалi кажучи, в явному виглядi знайти неможливо, то В. Рiтц пропонує шукати i наближення, що належить допустимому класу , у виглядi


(6)

де – деяка система функцiй, що задовольняє певним умовам, яку В. Рiтц називає координатною системою, а а — невiдомi коефiцiєнти. для визначення коефiцiєнтiв , В. Рiтц пiдставляє вираз (7) в iнтеграл (6), внаслiдок чого одержує функцiю

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Variac Metody (3.6 MiB, Завантажень: 3)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
завантаження...
WordPress: 24.23MB | MySQL:26 | 0,344sec