Дипломна робота на тему: «ВИКОРИСТАННЯ ПАКЕТУ INTEGRAL EQUATIONS TOOLBOX ДЛЯ ЧИСЕЛЬНОЇ РЕАЛІЗАЦІЇ ІНТЕГРАЛЬНИХ МОДЕЛЕЙ»

ЗМІСТ

ВСТУП    3

1 МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРРА II РОДУ    5

1.1 Ввідні відомості про рівняння і їх застосування    5

1.1.1. Типи рівнянь    5

1.1.2. Приклади застосування    8

1.2 Застосування резольвенти і еквівалентних перетворень    12

1.2.1. Резольвента і її застосування    12

1.2.2. Еквівалентні диференціальні рівняння    20

1.2.3. Перетворення до рівняння першого роду    28

1.3 Метод квадратур    29

1.3.1. Особливості застосування квадратур    30

1.3.2. Апроксимуючі системи кінцевих рівнянь    33

1.3.3. Застосування формули трапецій    38

2 ОПИС ПРОГРАМ ПАКЕТУ INTEGRAL EQUATIONS TOOLBOX    41

3 ПРИКЛАДИ ВИКОРИСТАННЯ ПРОГРАМ    56

ВИСНОВКИ    66

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ    67

 

ВСТУП

Областю математичного моделювання, що останнім часом активно розвивається, стали наближені, чисельні і машинні методи розв’язання інтегральних рівнянь, застосування яких дозволяє отримати ефективні математичні описи багатьох задач, як традиційних, так і нових. Апарат інтегральних рівнянь міцно увійшов до теорії управління (аналіз процесів в динамічних системах, визначення імпульсної функції лінійної системи, задача оптимальної фільтрації, задача відновлення сигналу і т.д.), в цей же час все ще не існує досить універсальних програмних засобів для розв’язання цих задач, що і стало передумовою для створення даного пакету.

Пакет призначений для розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра першого і другого роду, Фредгольма першого, другого і третього роду, а також інтегральних рівнянь Вольтерра і Фредгольма першого роду типу згортки. Пакет складається з шістнадцяти основних програм, до яких безпосередньо повинен звертатися користувач пакету, десяти службових підпрограм і декількох демонстраційних прикладів, всі програми забезпечені докладними коментарями і інструкціями по застосуванню. Програми пакету реалізують метод квадратур, метод регуляризації Тихонова і метод ітеративної регуляризації Фрідмана. Гнучкість і універсальність пакету дозволяє охопити велике число можливих варіантів постановки задач і задавання початкових даних. Зокрема, застосування методів регуляризації робить можливим ефективне розв’язання інтегральних рівнянь першого роду, що відносяться до некоректних задач.

Пакет створений на базі IBM PC в ОС Windows на мові програмного комплексу MATLAB. Програмне забезпечення Integral Equations Toolbox організоване відповідно до прийнятої в MATLAB структури пакетів прикладних програм і може підключатися до пакету MATLAB версії 4.0 або вище.

В даній дипломній роботі за основу дослідження беруться рівняння Вольтерра II роду.

Метою даної роботи є розробка алгоритмів для чисельної реалізації інтегральних рівнянь Вольтерра та Фредгольма II роду, визначення точності методів у порівнянні з аналітичними розв’язками.

Об’єктом дослідження є методи чисельної реалізації інтегральних рівнянь Вольтерра та Фредгольма II роду з метою дослідження інтегральних моделей динамічних об’єктів.

Предметом дослідження є використання методу математичного моделювання при дослідженні динамічних об’єктів шляхом проведення обчислювальних експериментів.

Для досягнення мети дослідження використовуються методи дослідження: метод квадратур, метод регуляризації Тихонова, метод ітеративної регуляризації Фрідмана

В роботі описано ряд типових видів рівнянь Вольтерра і Фредгольма II роду і приведено їх основні характеристики. Розв’язано задачу — аналізу перехідного процесу в електричному колі другого порядку (з двома інерційними елементами).

1 МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРРА II РОДУ

1.1 Ввідні відомості про рівняння і їх застосування

1.1.1. Типи рівнянь

До рівнянь Вольтерра відносять інтегральні рівняння, що містять оператора Вольтерра, включаючи в цей клас і різні види нелінійних рівнянь. До найбільш поширених рівнянь цього типу відносяться приведені нижче рівняння.

Лінійне одномірне (скалярне) рівняння Вольтерра II роду має вигляд|

    .    (1.1)

З різними обмеженнями на ядро рівняння і праву частину зв’язані певні умови існування і єдиності розв’язання рівняння (1.1) . Зокрема, розв’язок існує і єдино, якщо ядро безперервне всередині і на сторонах трикутника, обмеженого прямими s=a, x=b, x=s (при b > а), а функція на проміжку [а, b)
має скінченне число точок розриву, причому вона може бути і необмеженою, якщо
має кінцеве значення.

Рівняння (1.1) є окремим випадком рівняння Фредгольма II роду, якщо в останньому прийняти, що ядро задовольняє умові при s > х. Замінюючи в (1.1) інтеграл квадратурною формулою, можна отримати апроксимуючу систему лінійних рівнянь алгебри відносно значень шуканої функції у фіксованих вузлах із трикутною матрицею коефіцієнтів.

Рівняння (1.1) містить інтегральний оператор

    ,    (1.2)

важлива властивість якого полягає в тому, що значення функції при будь – якому х визначаються значеннями функції тільки при s < х. Інтегральні оператори, що характеризуються цією властивістю, у тому числі і нелінійні, називаються операторами Вольтерра і широко застосовуються при описі процесів з післядією. Дана особливість інтегрального оператора дозволяє застосовувати прийом розв’язання рівняння (1.1), що полягає в тому, що розв’язання може бути побудовано тільки на частині проміжку [a, b), наприклад на деякому інтервалі при користуватися для розв’язання виразом

    .

Важливим для практики чисельного розв’язку є випадок виродженого (що розділяється) ядра

    ,    (1.3)

якому відповідає рівняння

    .    (1.4)

Рівняння Вольтерра II роду типу згортки (із різницевим ядром):

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Vyk Paketu Integral Equetions (1.1 MiB, Завантажень: 5)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
завантаження...
WordPress: 23.7MB | MySQL:26 | 0,357sec