Дипломна робота на тему: «МЕТОДИ ОДНОМІРНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ В УМОВАХ ПОСТІЙНОСТІ»

Зміст

Вступ    4

§1. ПРОБЛЕМИ ОПТИМІЗАЦІЇ    5

1.1. Постановка задачі    5

1.2. Основна властивість унімодальної функції    11

§ 2. Методи одномірної оптимізації    13

2.1. Методи виключення інтервалів    13

2.1.1. Метод половинного ділення (бісекції відрізка, дихотомії…)    15

2.1.2. Метод Фібоначчі    17

2.1.3. Метод «золотого ділення»    22

2.2. Методи з використанням похiдних    26

2.2.1. Метод дотичних (метод Ньютона)    27

2.2.2. Метод січних    28

2.2.3. Метод поділу відрізка пополам    30

2.3. Методи полiномiальної апроксимацiї    32

2.3.1. Метод квадратичної інтерполяції    32

Висновки    36

Список використаних джерел    37

Додатки:    38

Додаток 1    38

Додаток 2    43

Додаток 3    46

Додаток 4    47

 

Вступ

Пошуки оптимальних розв’язкiв привели до створення спецiальних математичних методiв i вже у XVIII столiттi були закладенi математичнi основи оптимiзацiї (варiацiйне числення, чисельнi методи й iншi). Однак до другої половини XX столiття методи оптимiзацiї в багатьох областях науки i технiки застосовувалися дуже рiдко, оскiльки практичне використання математичних методiв оптимiзацiї вимагало величезної обчислювальної роботи, яку без ЕОМ реалiзувати було вкрай важко, а в рядi випадкiв – неможливо. Особливо великi труднощi виникали при розв’язанні задач оптимiзацiї процесiв у хiмiчнiй технологiї через велике число параметрiв i їхнього складного взаємозв’язку мiж собою. При наявностi ЕОМ задачi помiтно спрощуються.

Метою дипломної роботи є дослідження основних методів одномірної оптимізації. Актуальність цього завдання випливає з того, що ці методи зараз набувають широкого застосування в людській діяльності і через їх велику кількість виникає питання, який метод краще вибрати.

Об’єктом дослідження є методи одномірної оптимізації. Предметом дослідження є ефективність різних методів одномірної оптимізації: їх швидкість роботи та точність при обчисленнях.

Робоча гіпотеза – серед великої кількості методів одномірної оптимізації в залежності від поставленої мети можна виділити оптимальні (ефективніші) і не оптимальні (найгірші) методи.

Робота складається з двох розділів. В першому розділі постановляється задача оптимізації, вказуються критерії для функції, екстремум якої буде шукатися. В наступному розділі описані власне методи пошуку екстремуму функції, зокрема методи виключення інтервалів, методи з використанням похідних та методи поліноміальної апроксимації. До роботи також додаються тексти програм на мові Pascal для всіх описаних методів.

§1. ПРОБЛЕМИ ОПТИМІЗАЦІЇ

1.1. Постановка задачі

В літературних джерелах можна знайти чіткі означення задачі оптимізації. Зокрема, наприклад, в [8] наведено таке означення:

Оптимiзацiя – цiлеспрямована дiяльнiсть, що полягає в одержаннi найкращих результатiв при вiдповiдних умовах.

При постановцi задачі оптимiзацiї необхiдні:

1. Наявнiсть об’єкта оптимiзацiї i мети оптимiзацiї.

2. Наявнiсть ресурсiв оптимiзацiї, пiд якими розумiють можливiсть вибору значень деяких параметрiв об’єкта.

3. Можливiсть кiлькiсної оцiнки розмiру оптимізації, оскiльки тiльки в цьому випадку можна порiвнювати ефект вiд зміни тих або iнших параметрів.

4. Перелік обмежень.

Зауважимо, що в класичній постановці задачі при формулюванні мети оптимізації передбачається лише одна цільова функція, яка кількісно визначена, тобто при будь-яких значеннях невідомих (змінних) можна знайти числове значення функції. У реальних економічних системах на роль критерію оптимальності (ефективності) може претендувати будь-який з кількох десятків показників. Наприклад, максимум чистого доходу від реалізації виробленої продукції чи максимум рівня рентабельності, мінімум собівартості виробленої продукції або мінімум витрат дефіцитних ресурсів. Як правило, в науковій та навчальній літературі розглядають конкретні приклади, в яких потрібно знайти найбільший прибуток. Це вже стало ніби класичною задачею. В деяких задачах мету оптимізації формулюють дещо абстрактно: «…, що забезпечує найкращу економічну ефективність».

Оскільки не існує єдиного універсального критерію економічної ефективності, то досить часто вдаються до розгляду багатокритеріальної оптимізації. З математичної точки зору така постановка задачі є неправильною. Формулювання задачi оптимiзацiї повинне вимагати екстремального значення лише однiєї величини, тобто одночасно системi не повинно приписуватися два i бiльше критерiїв оптимiзацiї, тому що практично завжди екстремум одного критерiю не вiдповiдає екстремуму iншого.

Хоча задача оптимізації передбачає одну цільову функцію, розроблено математичні методи, що дають змогу будувати компромісні плани, тобто здійснювати багатокритеріальну оптимізацію.

Найчастіше способи використання багатьох критеріїв у задачах оптимізації зводяться до штучного об’єднання кількох вибраних показників в один. Наведемо кілька таких способів.

Нехай у задачі обрано критеріїв оптимальності . Загальний критерій може мати вигляд суми окремих показників ефективності з відповідними коефіцієнтами:

,                            (1)

де — додатні чи від’ємні коефіцієнти. Додатні коефіцієнти відповідають тим критеріям, які потрібно максимізувати, а від’ємні — тим, які мінімізуються. Абсолютні значення коефіцієнтів відповідають пріоритету (важливості) того чи іншого показника.

Наприклад, якщо розв’язується виробнича задача, то з додатними коефіцієнтами ввійдуть такі величини, як обсяг прибутку, отриманого від реалізації товарів та послуг, з від’ємними — витрати ресурсів (часу, праці), собівартість одиниці продукції.

Узагальнений критерій може подаватись у вигляді дробу, де в чисельнику знаходиться добуток показників, які необхідно максимізувати, припустимо , а в знаменнику — добуток тих, які потрібно мінімізувати :

.                                    (2)

Загальним недоліком критеріїв (1), (2) є те, що існує можливість недостатню ефективність одного критерію компенсувати іншим. Наприклад, зниження значення виконання попередніх замовлень (в (2) буде в чисельнику) може компенсуватися зменшенням використання ресурсів (знаменник дробу (2)). Оскільки окремі величини в чисельнику та знаменнику пропорційно зменшилися, то значення дробу не змінюється, проте складені на основі таких розрахунків плани можуть призвести до негативних наслідків.

Отже, до використання зазначених способів формування цільових функцій необхідно підходити зважено та продумано.

Ще один метод запропонував І. Никовський. Оптимальний план знаходять окремо за кожним з вибраних критеріїв, після чого отримують множину значень цільової функції . На останньому етапі розв’язується початкова задача з одним критерієм виду:

,

де — значення -го критерію оптимальності в оптимальному компромісному плані. За такого підходу розв’язок задачі визначається за критерієм, що дорівнює мінімальному значенню модулів часток відхилень значень кожної цільової функції у компромісному плані від їх оптимальних значень у їх же оптимальних значеннях, що робить всі критерії однаково важливими. Для врахування переваг одних критеріїв над іншими доцільно застосовувати узагальнений критерій такого виду:

.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Metody Odnoridn Optym (1.0 MiB, Завантажень: 0)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
завантаження...
WordPress: 24.08MB | MySQL:26 | 0,317sec