Дипломна робота на тему: «ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ОПЕРАТОРНИХ РІВНЯНЬ»

Зміст

Вступ

Розділ І. Ітераційні методи

§1. Метод послідовних наближень, його застосування до систем лінійних алгебраїчних рівнянь

§2. Застосування методу послідовних наближеньдо інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду.

§3. Розв’язування інтегральних рівнянь Вольтери другого роду методом послідовних наближень.

§4. Застосування методу послідовних наближень до диференціальних рівнянь.

§5. Застосування методу послідовних наближень до нелінійних інтегральних рівнянь.

§6. Побудова наближених розв’язків інтегро-функціональних рівнянь при допомозі методу послідовних наближень.

§7. Ітераційні процеси.

§8. Ітераційні методи для рівнянь з необмеженими операторами.

§9. Градієнтні методи.

Розділ ІІ. Різні узагальнення методу послідовних наближень.

§10. Методи Положого та Зейделя.

§11. Метод осереднення функціональних поправок

§12. Проекційно-ітеративний метод.

§13. Застосування проекційно-ітеративного методу до інтегральних рівнянь.

Висновки.

Література.

 

 

 

Вступ

Ітераційні процеси мають широке застосування при дослідженні та побудові розв’язків різних класів рівнянь. На їх основі виникли методи апроксимаційно-ітеративного типу, [4,18] одним з яких є проекційно-ітеративний метод та різні його узагальнення.

Метою моєї роботи є загальна систематизація різних ітераційних процесів, дослідження питання щодо можливості їх застосування до різних типів рівнянь, встановлення умов збіжності та оцінок похибок наближень.

Особлива увага приділяється деяким варіантам проекційно-ітеративного методу, розглядається схема цього методу для системи лінійних алгебраїчних рівнянь та деяких типів інтегральних рівнянь.

Основним із ітераційних методів є метод послідовних наближень. З точки зору функціонального аналізу цей метод вкладається в загальну схему і приводить до принципу стискуючих відображень. Ідея методу послідовних наближень стосовно рівняння


,     (1)
де – лінійний обмежений оператор, що діє в банаховому просторі , полягає в тому, що наближення до шуканого розв’язку знаходяться по формулі



    (2)
– деяке початкове наближення. Питання про збіжність методу тісно пов’язане зі збіжністю ряду


    (3)
який збігається, якщо виконується умова


    (4)
де – одиничний (тотожній) оператор в , – спектральний радіус оператора . В ряді випадків для збіжності методу послідовних наближень необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова (4). Найпростішою ознакою збіжності ряду (3), а отже, і методу (2) є умова


    (5)

Для нелінійних рівнянь


    (6)

метод послідовних наближень успішно застосовний в тому випадку, коли – оператор стиску, тобто задовольняє умову Ліпшиця



,     (7)

з константою <1. У випадку коли остання умова не виконується, часто застосовується принцип Шаудера про нерухому точку. Завдяки роботам багатьох вчених принцип нерухомої точки і принцип стискуючих відображень стали міцними засобами дослідження математичних моделей. Серед чисельних досліджень, присвячених цьому питанню, слід відмітити важливі роботи В. В. Немицького [22], А. Н. Тихонова, Ж. Лере, Ю. Шаудера [13], М. А. Красносельського [8,9], П. П. Забрейко [9], Л. Коллатца [7], Ф. Браудера, В. В. Петришина.

Ідея методу послідовних наближень стосовно системи лінійних алгебраїчних рівнянь


    (8)
Полягає в тому, що наближені розв’язки цієї системи обчислюємо по схемі


    (9)
Якщо ж ввести вектори




та матрицю



то система (8) та метод (9) наберуть відповідно вигляду

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Interac Met Rozv Operat Rivn (3.3 MiB, Завантажень: 6)

Сторінка: 1 2 3 4
завантаження...
WordPress: 23.36MB | MySQL:26 | 0,547sec