Дипломна робота: МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕСТАЦІОНАРНИХ ПРОЦЕСІВ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ В НЕОБМЕЖЕНИХ ДВОСКЛАДОВИХ ПРОСТОРОВИХ ОБЛАСТЯХ

ЗМІСТ

Вступ    3

Постановка задачі    7

§1. Математичне моделювання нестаціонарного процесу теплопровідності в області     8

§2. Математичне моделювання нестаціонарного процесу теплопровідності в області     15

§3. Математичне моделювання нестаціонарного процесу теплопровідності в області     18

§4. Математичне моделювання нестаціонарного процесу теплопровідності в області     22

§5. Математичне моделювання нестаціонарного процесу теплопровідності в області     26

§6. Математичне моделювання нестаціонарного процесу теплопровідності в області     29

Висновки    34

Список використаних джерел    35

Вступ

До найбільш визначних наукових і технічних досягнень ХХ століття можна віднести розвиток ядерної енергетики та освоєння на основі ракетної техніки високих швидкостей польоту. В обох випадках доводиться мати справу з надзвичайно високими температурами, пов’язаними з процесом одержання енергії, а у випадку високошвидкісних польотів – також з явищем аеродинамічного нагрівання. Крім високих рівнів температури, в робочих умовах часто виникають і значні градієнти температур. Внаслідок великих різниць температури виникають температурні напруження, які є важливим фактором, що визначає довговічність і надійність матеріалів. Тому проблема визначення температурних полів і температурних напружень становить значний теоретичний, практичний та економічний інтерес. Окрім атомної енергетики і космічної техніки, ця проблема має важливе значення в радіотехніці і електроніці, зварювальному виробництві, при розрахунку конструктивних елементів машин та нагрівальних пристроїв, інженерних споруд тощо [5,15,17-20,22,28,30,31,37,38,41-44,50].

Зазначимо також, що дослідження кінетики ряду фізичних та хіміко-технологічних процесів з математичної точки зору аналогічні задачам стаціонарної та нестаціонарної теорії теплопровідності [7].

Саме цими обставинами пояснюється виняткова увага до задач теплопровідності на сучасному етапі науково-технічного прогресу. При цьому значно підвищуються вимоги до точності визначення температур і теплових потоків. У зв’язку з цим зростає роль і значення точних аналітичних методів розв’язання крайових задач для рівняння теплопровідності (систем рівнянь), які у багатьох випадках дозволяють подати загальний розв’язок задач у вигляді, зручному для оцінки теплового режиму тіла та домінуючих факторів теплообміну.

За останні десятиріччя в практику аналітичної теорії теплопровідності, термомеханіки та теорії пружності глибоко проникли методи розрахунку температурних полів і полів напружень, що ґрунтуються на застосуванні інтегральних перетворень [3,4,9,12-14,21,23,24,26,27,39,40].

З точки зору математики метод інтегральних перетворень еквівалентний методу власних функцій [2,47], але він має і суттєві переваги. До цих переваг слід віднести, у першу чергу, стандартну техніку обчислень, а також можливість подання розв’язку задачі у різних формах. Це особливо важливо в застосуваннях, коли необхідно отримувати розв’язки у зручному для розрахунків вигляді як для малих, так і для великих значень аргументів. Нарешті, при наявності значної кількості таблиць прямих та обернених перетворень [1,6,10,11,21,32,34,35,45], техніка розв’язання задачі значно спрощується і прискорюється. Але потрібно зауважити, що для методу інтегральних перетворень характерні ті ж обмеження, що і для методу відокремлення змінних [8,48,51]. Він застосовний тільки для лінійних диференціальних рівнянь з лінійними крайовими умовами, хоча є спроби його застосування для розв’язання деяких нелінійних крайових задач.

Інтегральні перетворення, які використовуються в аналітичній теорії теплопровідності, можна умовно поділити на три класи:

перетворення щодо часової змінної на проміжку (0;);

перетворення щодо геометричних змінних в нескінченних межах;

перетворення щодо геометричних змінних в скінченних межах.

До першого класу відносяться добре і давно відомі перетворення Лапласа та Лапласа-Карсона, які є основою операційного числення [16]. До другого і третього класу належать перетворення Фур’є, Фур’є-Бесселя, Вебера, Ганкеля, Мелліна, Мелера-Фока, Конторовича-Лєбєдєва та ін. [6,21,25,32-34], вибір яких визначається геометрією області геометричних змінних та структурою диференціального оператора і крайових умов.

Всі вказані вище інтегральні перетворення успішно застосовуються для розв’язання лінійних крайових задач математичної фізики з неперервними коефіцієнтами. Однак в останній час, у зв’язку з широким застосуванням композитних матеріалів (в будівництві, техніці, технології), виникла необхідність в розрахунку температур і температурних напружень в тілах, що складаються з матеріалів, які мають різні фізико-технічні характеристики [4,12,13,14,23,24]. Останнє вимагає відповідного математичного апарату. Зокрема, виникає необхідність в побудові таких інтегральних перетворень, які б давали можливість алгебраїзації диференціальних рівнянь з кусково-неперервними коефіцієнтами. Перетворення вказаного типу одержали назву гібридних інтегральних перетворень. В кінці 60-их років минулого століття з’явились роботи Я.С.Уфлянда та його учнів, в яких класичні інтегральні перетворення Фур’є, Фур’є-Бесселя, Лежандра поширюються на випадок складених областей. Своє продовження ці дослідження знайшли в працях В.С. Проценка та його учнів. Характерною особливістю згаданих робіт є те, що розглядається тільки одна точка спряження ( або ) в припущенні наявності в ній умов контакту виду


Однак при здійсненні неідеального термічного контакту, що природно, перша з умов спряження матиме вигляд


а в задачах термопружності (наприклад, для симетричних тіл) при наявності ідеального механічного контакту замість другої умови спряження матимемо умову


Таким чином, практично важливі задачі приводять до умов пряження


Якщо прийняти до уваги, що найпростіший композит має дві точки спряження, то потрібні гібридні інтегральні перетворення принаймні на трискладовому інтервалі. В той же час приклади розрахунків термопружних полів та електричних контурів в ортотропних та анізотропних середовищах вказують на необхідність у гібридних інтегральних перетвореннях на інтервалі з дозвільним, але скінченним числом точок спряження.

Подальший розвиток теорія гібридних інтегральних перетворень знайшла у працях М.П. Ленюка та його учнів. Зокрема, при найбільш загальних припущеннях на структури диференціальних операторів, крайових умов та умов спряження побудовано гібридні інтегральні перетворення типу Фур’є, Фур’є-Бесселя, Вебера, Ганкеля 1-го й 2-го роду з n точками спряження. Наявність основної тотожності інтегрального перетворення відповідного гібридного диференціального оператора дає можливість застосувати ці перетворення до розв’язання крайових задач математичної фізики неоднорідних середовищ у декартовій, сферичній та циліндричній системах координат [4,12-14,25-27,35,39,40].

В магістерській роботі методом інтегральних перетворень Фур’є та відповідних гібридних інтегральних перетворень побудовано точні аналітичні розв’язки нестаціонарних задач феноменологічної теорії теплопровідності для необмежених двоскладових просторових областей в декартовій системі координат. Одержані результати носять алгоритмічний характер і можуть бути використані в практиці інженерних розрахунків задач термомеханіки і теплофізики з використанням сучасних ПЕОМ.

Постановка задачі

Задача про структуру нестаціонарного температурного поля в ортотропній необмеженій двоскладовій просторовій області математично зводиться до побудови обмеженого на множині


розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності [19,48]

    (1)

за початковими умовами

,    (2)

крайовими умовами

, ;,    (3)

умовами неідеального теплового контакту []

    (4)

та відповідними крайовими умовами на межі ,

де – коефіцієнти температуропровідності у напрямках координатних осей x, y, z; ;

– коефіцієнти дисипації теплової енергії;

– інтенсивність теплових джерел;

– температура середовища у початковий момент часу;

– коефіцієнт термоопору;

– коефіцієнт теплопровідності;

– шукана температура.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Магiстерська робота (921.0 KiB, Завантажень: 0)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7
завантаження...
WordPress: 23.6MB | MySQL:26 | 0,331sec