БАЗИС І РОЗМІРНІСТЬ СКІНЧЕННОВИМІРНОГО ВЕКТОРНОГО ПРОСТОРУ. ПІДПРОСТОРИ. ЛІНІЙНІ МНОГОВИДИ. ІЗОМОРФІЗМИ ВЕКТОРНИХ ПРОСТОРІВ

Кожна оболонка лінійної системи векторів є векторним простором. Тому виникає питання про перенесення поняття базису із системи векторів на простір.

Озн. Лінійно незалежна система векторів наз. базисом векторного простору L, якщо будь який вектор з простору L є лінійеою комбінацією системи векторів.

Озн. Базисом скінченновимірного векторного простору наз. непорожня лінійно незалежна його підсистема, яка еквівалентна всій системі.

Озн. Векторні простори, задані над одним і тим же полем Р наз. ізоморфними, якщо між елементами і можна встановити взаємно однозначну відповідність .

Теор. Два скінченновимірні векторні простори над полем Р ізоморфні тоді і тільки тоді, якщо вони мають однакову розмірність.

Дов.
Н: При ізоморфізмі базис переходить вбазис, а базиси мають однакову розмірність, то L і мають однакову розмірність.

Д: Нехай L і простори над полем Р. Вибарамо в них по базису L: (1), :. в базисі L має координати , . Ця відповідність є однозначною. Дійсно однозначно виражається своїми координатами в одному базисі, тому і однозначно виражається своїми координатами через і навпаки. Тоді .

Озн. Розмірністю ненульового скінченного векторного ростору наз. число векторів в якому небудь його базисі. Dim v=n, dim(0)=0.

Озн. Непорожня множина векторного простору L є підростором цього ростору, якщо вона сама є лінійним простором відносно операцій, визначених у просторі L.

Теор. Для того, щоб непорожня множина векторного простору L була підпростором, необхідно, щоб вона була замкнена відносно операцій «+» і «*» на скаляр .

Озн. Нехай підпростір векторного простору L і . Множина векторів виду , де наз. лінійним многовидом простору L.

Лінійний многовид не утворює векторного простору, бо він не замкнений відносно операції «+». Кожен лінійний підпростір є лінійним многовидом, але не навпаки. Якщо , то лінійний многовид буде підпростором.

Теор. Розмірність підпростору векторного простору не більша ніж розмірність простору.

Озн. Множина розв’язків системи n лінійних рівнянь з n невідомими утворює підпростір n- вимірного лінійного векторного простору.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Bazys I Rozmirnist (63.0 KiB, Завантажень: 2)

завантаження...
WordPress: 22.87MB | MySQL:26 | 0,324sec