АЛГЕБРА ДЖОРДЖА БУЛЯ

булева алгебра (англ. boolean algebra) в математиці та інформатиці – алгебраїчна структура, яка відображує певні логічні закономірності об’єктів та систем реального світу. Засади алгебри логіки були сформульовані британцем Джорджем Б. в 1847 році і з тих пір ця система застосовується для вирішення широкого спектру проблем мат. логіки та теорії множин, та особливо конструювання цифрової електроніки (початок використання булевої алгебри для синтезу перемикальних (релейних) схем був покладений в 1938 році роботами Клода Шеннона).

Формальне визначення БА: В БА розглядається сукупність операцій над деякою множиною
A з визначеними на цій множині операціями:

  • булеве додавання, яке співставляє будь-яким двом елементам a та b множини A елемент з цієї ж множини (булеву суму елементів а та b)
  • булеве множення, яке співставляє будь-яким двом елементам a та b множини A елемент з цієї ж множини (булевий добуток елементів а та b)
  • булеве доповнення, яке співставляє кожному елементу a множини A деякий елемент або (булеве доповнення до елемента а)

    При цьому виконуються наступні аксіоми:

  1. (комутативність)
  2. (асоціативність)
  3. (дистрибутивність)
  4. (поглинання-1)
  5. (поглинання-2)

    З цих аксіом випливають наступні теореми:

  6. (ідемпотентність)
  7. для довільних а, b з множини A

    З теореми випливає, що елементи та не залежать від вибору елемента a. Елемент наз. Б. одиницею 1 або e, елемент називається Б. нулем 0.

  8. для будь-якого a з А
  9. для будь-якого a з А
  10. (правила де-Моргана)

    Над множиною A також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення порядку та відповідає умовам:

  11. x≤x (рефлективність)
  12. якщо x≤y та y≤x, то x=y (антисиметричність)
  13. якщо x≤y та y≤z, то x≤z (транзитивність)

    Замість x≤y можна писати у≥x. Множина з таким відношенням має назву впорядкованої.

    Строго математично, булевою алгеброю називається ґратка A в якій зазначені операції дистрибутивні, кожний елемент з множини A має доповнення, а також існують нульовий та одиничний елементи.

завантаження...
WordPress: 22.86MB | MySQL:26 | 0,433sec